二次函数恒成立问题

二次函数中的恒成立问题高三（1）班1.掌握二次函数、一元二次方程和一元二次不等式“三个二次”之间的联系2.复习二次函数“轴动区间定”的最值问题3.探究恒成立问题的题型与解题方法学习目标判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1ab2ab2b2注:对于开口向下(a0)的情况，讨论类似(m)f(m)f(m)f(n)f(n)f(n)f2b(-)fa2b(-)famab22nmabm+2nm2na+abn2_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(min=xf_______)(max=xf_______)(max=xf_______)(max=xf_______)(max=xf题型一二次函数在R上恒成立问题函数2()3-fxxaxa=++，当xR时，()0fx恒成立，求a的取值范围.典型例题0,62a若不等式mx2＋2mx＋10的解集为R，则m的取值范围是________．解析：①当m＝0时，10显然成立．②当m≠0时，由条件知m0，Δ＝4m2－4m0.得0m1，由①②知0≤m1.答案：[0,1)变式训练7（1）二次不等式ax2+bx+c0恒成立2040abac=2040abac=二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立2040abac=二次不等式ax2+bx+c≤0恒成立=0402acba（2）二次不等式ax2+bx+c0恒成立感悟总结注意：如果没有对a≠0进行说明，要对a=0进行讨论题型二二次函数在区间上恒成立问题函数2()3fxxaxa=++，当[2,2]x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.典型例题要使2,2x时，()0fx恒成立，min()0fx即可.（1）当22a，即4a时，(2)730fa=73a，又4aa不存在.2()3fxxaxa=++（2）当222a，即44a时，2()3024aafa=+62a又因为44a42a（3）当22a，即4a时，(2)70fa=+从而7a又因为4a74a综上所述，a的取值范围为7,2.2()3fxxaxa=++变式训练解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜67，则0＜m＜67；当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，即m＜0.综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪0，67.所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪0，67.法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，min()0,,()0fxababfx在区间[]上恒成立在区间[]上，转化为求二次函数在区间上的最值问题感悟总结方法解读适合题型判别式法二次不等式在R上恒成立(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是a0，Δ≤0；(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是a0，Δ≤0方法解读适合题型分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx=+2981()2(),[2,3],48fxxmx=+max()(3)90,fxfm==≤9.m≤23y..xo关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm+9m≤变式训练则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm+9m≤2()29,[2,3],gxxxx=+记min()(3)9,gxg==9.m≤