函数的最大(最小)值公开课

主讲：王立玮喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值.前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图.(1)说出气温随时间变化的特点.从图象上看出0时4时之间气温下降,4时14时之间气温逐步上升,14时~24时气温逐渐下降.(2)某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？14时气温达到最高,4时气温达到最低.(3)从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值,从图象上看出,图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题.观察下列两个函数的图象：yxox0图2MB探究点1函数的最大值【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.思考2设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?【解答】f(x)≤M思考1这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即是函数的最大值！函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有________；（2）存在x0∈I，使得_______。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.f(x)≤Mf(x0)=M函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.函数图象最高点处的函数值的刻画：函数最大值的“形”的定义：而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的最大值.注意啦！定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有(2)不存在最大值点,图1yox0xmxyox0图2m观察下列两个函数的图象：探究点2函数的最小值思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意的，都有________；（2）存在，使得_______.那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.xI0xIf(x)≥Nf(x0)=N函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).函数图象最低点处的函数值的刻画：最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.(1)()1;fxx2(2)();fxx请大家思考,是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明.一个函数不一定有最值.有的函数可能只有一个最大(或小)值.如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个.32-2-1xyo32-2-1xyo2(3)()21,[0,3)fxxxx【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值.(1)x∈[0,3](2)x∈(2,4](3)x∈[-2,-1]ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.值域[-2,2]ymax=f(4)=7.值域(-1,7]ymax=f(-2)=7.值域[2,7]ymin=f(-1)=2,例2.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．21yx解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2,则2211(21)(1).()xxxx由2x1x26,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,12()()0,fxfx121222()()11fxfxxx21212[(1)(1)](1)(1)xxxx于是因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值.12()().fxfx所以,函数是区间[2,6]上的减函数.21yx当x=2时取最大值21yxmax2(2)2;21yf当x=6时取最小值min22(6).615yf即00.511.522.533.5012345678xyo1234561321.函数的最大(小)值的定义及几何意义．2.三类函数的最值的求法．利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.利用图象求函数的最大(小)值.利用函数单调性求函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b).函数在其定义域上的最大值,其几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为图象上最低点的纵坐标.