椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：12222byax（a＞b＞0）12222bxay（a＞b＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m0，n0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例MPPPPxP解:(相关点法)设点M(x,y),点P(x0,y0),则x＝x0,y＝20y得x0＝x，y0＝2y.∵x02＋y02＝4,得x2＋(2y)2＝4,即.142yx所以点M的轨迹是一个椭圆.4.范围.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．7.椭圆的几何性质：aA1yOF1F2xB2B1A2cbyOF1F2xMccxF2F1OyMccyxPOPM椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222xy1(ab0)ab的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出2222yx1(ab0)ab的有关性质。总结如下：几点说明：（1）长轴：线段12AA，长为2a；短轴：线段12BB，长为2b；焦点在长轴上。（2）对于离心率e，因为ac0，所以0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于22221cabbeaaa，所以e越趋近于1，b越趋近于0，椭圆越扁平；e越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。（3）观察下图，22||,||OBbOFc，所以22||BFa，所以椭圆的离心率e=cos∠OF2B28.直线与椭圆：直线l：0AxByC（A、B不同时为0）椭圆C：2222xy1(ab0)ab那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：222201AxByCxyab消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下20(0)mxnxpm，24nmp（1）当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；（2）当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3）当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为1122(,),(,)AxyBxy，那么线段AB的长度（即弦长）为221212||()()ABxxyy，设直线的斜率为k，可得：221212||()[()]ABxxkxx2121||kxx，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。椭圆典型例题例1已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值．解：方程变形为12622myx．因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m．又2c，所以2262m，5m适合．故5m．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx．当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy．例3ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为yx，，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx．（2）设yxA，，yxG，，则013610022yyx．①由题意有33yyxx，代入①，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．例5已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．例6已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7已知椭圆1222yx（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧，212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得：224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得：221242212212xxyxxx，即12122yx．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F．点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（－9，6），直线2FF的方程为032yx．解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（－5，4）．此时21MFMF最小．所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，∴53a，又3c，∴3635322222cab．因此，所求椭圆的方程为1364522yx．例10已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k．说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并