必修一函数剖析大全与题型分类

盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组1函数2.1函数题型分类原则总述函数考题的已知条件和问题的现象比较复杂，为了建立简洁的思路体系，最好是以函数的概念为载体，从学习知识的程序上建立线索，按共同的条件现象或问题现象进行题型分类。函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。函数的三大考点：独立的一个函数可根据定义分四大考点一、映射与函数的概念：①判断对应关系是不是映射（函数），②求两集合能形成映射的个数二、定义域，值域：只要提到“最大值”，“最小值”，“取值范围”首先联想求定义域值域的方法。高中阶段定义域有2种题型，值域有4种题型，详见下文知识讲解。三、对应法则：即y与x的对应关系。这个定义很抽象，抽象的概念不会直接考察。它的两种具体表示形式①解析式②图像，是函数的核心考点。两个函数的关系：主要研究原函数与反函数的关系，反函数作为函数的第四个考点在高考中几乎必考1题。四、反函数：主要考求反函数，或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称性关系解题。2.2映射与函数的基本概念一、映射1、概念：A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射图2-2是一一映射图2-3不是映射映射概念题型：（一）求映射（或一一映射）的个数，若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个（二）判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组2二、函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合值域B：y取值范围组成的集合对应法则f：y与x的对应关系。三种表示形式：解析式、图像、列表函数与普通映射的区别在于：（1）两个集合必须是数集；（2）不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。图2-4函数概念的题型：（一）判断是否是函数，有三种现象：①判断映射是否是函数②判断解析式是否是函数③判断图像是否是函数。需从两个方面判断：①每个x是不是只对应一个y，或定义域是否对应。②有没有剩余的象，或值域是否对应。（二）函数解析式意义的识别：考查能否读懂题目。①分段函数：就是分情况的函数，需分情况使用解析式。②复合函数：设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1；g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11③创新定义的对应法则(运算法则)：对照使用或递推，需要累积创新题型的出题现象。题型分类第一部分映射与函数基本概念（一）映射的基本概念1、设BAf:是集合A到B的映射，下列说法正确的是（）A、A中每一个元素在B中必有象B、B中每一个元素在A中必有原象C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的D、B是A中所在元素的象的集合2、从集合A到B的映射中，下列说法正确的是（）A.B中某一元素b的原象可能不只一个B.A中某一元素a的象可能不只一个C.A中两个不同元素的象必不相同D.B中两个不同元素的原象可能相同3.在映射f:A→B中，下列说法中不正确的说法为()①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应；②集合B中至少存在一元素在集合A中无原象；盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组3③集合B中可能有元素在集合A中无原象；④集合B中可能有元素在集合A中的原象不至一个.A.①②B.②③C.③④D.①④4.在下列对应中，是A到B的映射的有m个，一一映射的有n个.①A＝｛x｜x∈N｝，B＝｛-1,1｝，对应法则f:x→(-1)x；②A＝｛x｜x∈R｝，B＝｛y｜y∈R+｝，对应法则f:x→y＝｜x｜；③A＝｛x｜x∈N｝，B＝｛y｜y∈R｝，对应法则f:x→y＝x；④A＝｛x｜x≥2｝，B＝｛y｜y≤2｝，对应法则f:x→y＝-x2+2x+2；⑤A＝｛x｜x∈R｝，B＝｛y｜y∈R｝，对应法则f:x→y＝11xx.则m、n的值分别为()A.2、0B.2、1C.3、1D.3、25.已知集合A=40xx，B=20yy,下列从A到B的对应f不是映射的是（）(A)xyxf21:(B)xyxf31:(C)xyxf32:(D)281:xyxf6.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是()A.④B.①④C.②④D.③④7.下图表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是()8.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是()A.2B.3C.4D.5盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组49.设集合A和B都是坐标平面上的点集｛(x,y)｜x∈R，y∈R｝，映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下象(2，1)的原象是()A.(3，1)B.(32，12)C.(32，-12)D.(1，3)10.填空题(1)从集合A＝｛1，2｝到B＝｛a，b｝的映射f个数为，一一映射个数为(2)从集合A＝｛1,2,3｝到B＝｛a，b，c｝的一一映射f的个数为.(3)设A到B的映射为f1：x→u＝3x-2，B到C的映射为f2：u→y＝u2-4，则A到C的映射f3是.（二）函数1.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？①3)5)(3(1xxxy52xy②111xxy)1)(1(2xxy③xxf)(2()gxx④()fxx33()Fxx⑤21)52()(xxf52)(2xxf2.已知：f(x)=x2x+3求：f(x1)f(x+1)3．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数．计算f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组52.3定义域与值域凡在考题中出现最大值、最小值、取值范围三种现象时，十之有八九是求函数定义域与或值域。首选用求定义域或值域的方法解题，其次再选择用均值不等式、几何意义或实际意义求范围和最值。2.3.1定义域题型一．具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式（一）直接考查：主要考解不等式。利用：整式的定义域为R，在()fx偶中()0fx；在()()gxfx中，()0fx；在0()fx中，()0fx；列不等式求解。（二）间接考查：主要是让考生在化简变形的过程中，忽略定义域的存在而把题做错。解决问题的方法是养成习惯，碰到根号、分母、对数符号等，首先就要考虑有取值范围的限制。解题后检验结果是否符合定义域。二．抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。第二部分、定义域（一）有解析式的函数经典例题：1、求下列函数的定义域：（1）221533xxyx（2）211()1xyx（3）234(34)12xxyx（4）0(1)xyxx（5）232xxyxx（6）2161xyxxx2.已知函数1()1xfxx的定义域为A，函数yffx的定义域为B，则()()AABB()BAB()CAB()DABB盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组6（二）无解析式的函数（抽象函数）1.已知()fx的定义域为[0，1]，求2()fx的定义域。2.已知(1)fx的定义域为[-2，3]，求1(2)fx的定义域。3、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为；函数fx()2的定义域为________；4、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是；函数1(2)fx的定义域为。5、已知函数fx()的定义域为1,1，且函数()()()Fxfxmfxm的定义域存在，求实数m的取值范围。2.4函数解析式的题型2.4.1函数解析式和对应法则的识别主要考查抽象函数、分段函数和复合函数。一、抽象函数：即没有具体解析式的函数。主要考查：抽象函数的递推方程中递推规律的识别，例如：()(2)fxfx二、分段函数：即分情况的函数，不同情况解析式不同。三、复合函数：即把函数整体作为自变量再放到解析式里的函数，例如2(log)ffx。四、创新定义的对应法则(运算法则)：对照使用或递推，需要累积创新题型的出题现象。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组72.4.3求函数解析式一、换元法：如f(2x+3)=x2+3x+5，求f(3-7x)，（设2x+3=3-7t）。二、构造法：如221)1(xxxxf，求f(x)。三、待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx+)+C中系数四、递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。五、求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。第四部分、解析式的求法(一).换元法1．若函数2()1fxx，求则2()fxx2．若函数2(1)32fxxx，求(1)fx.3．若()23fxx，(2)()gxfx，则()gx的表达式为（）（A）2x+1（B）2x—1（C）2x—3（D）2x+74．已知，则函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）5．已知，且，则等于（）（A）（B）（C）（D）6．（湖北卷理3）已知，则的解析式可取为（）（A）（B）（C）（D）－1)1(xxf)(xf2)(xxf)1(1)(2xxxf)1(22)(2xxxxf)1(2)(2xxxxf32)121(xxf6)(mfm41412323221111xxxxf)(xf21xx212xx212xx21xx盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组8（二）构造法1.若2211()fxxxx，则函数(1)fx=__________2、已知3311()fxxxx，求()fx；3、已知221)1(xxxxf，求f(x)。（三）待定系数法求解析式1.已知()fx是二次函数，且2(1)(1)24fxfxxx，求()fx的解析式。.2、已知()fx是一次函数，且[()]ffx=4x+3，求()fx。3.已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx；（四）利用性质递推求解析式1．已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且()fx+()gx=11x，则()fx=2．已知函数2yxx与()ygx的图象关于点（—2，3）对称，求()gx的解析式。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组93．设函数1()1fxx的图象为1C，若函数()gx的图象2C与1C关于x轴对称，则()gx的解析式为.4．若函数()fx满足关系式，则()fx的表达式为.5.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx=。（五）解析式的识别分段函数：1．已知函数3,10()[(5)],10nnfnffnn，其中n∈N，f（8）=（）A．2B．4C．6D．72．定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则不等式：sgn2(21)xxx的解集是2.3.2值域题型一．常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，幂函数，三角函数，对号函数。二．非常规