3.3基本不等式教学设计

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com北师大版普通高中标准实验教科书必修五课题：基本不等式（教学设计）金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com基本不等式（教学设计）一、教学目标：1、知识与能力目标：学会探究推导并掌握基本不等式，从不同的角度理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件。理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→基本不等式的探究→基本不等式的分析→基本不等式的应用的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想探究基本不等式，并从不同角度探索不等式2abab的几何意义；难点：注意基本不等式2abab等号成立条件以及应用于解决简单问题。三、教学方法：本节课采用数形结合的思想，引导学生观察——探究——感知—金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com—抽象——归纳；用启发诱导、探究合作、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。四、学法指导在教学中，学生始终是主体，教师只是起主导作用，因此在教学中引导学生去观察、发现、分析、解决问题。通过实例让学生抽象出基本不等式的式子，并加以证明。课堂上创设问题情境，培养学生积极思维，让学生惊诧于数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。五、教学工具：多媒体课件六、教学基本流程：创设问题情境探究基本不等式归纳总结基本不等式运用基本不等式解决实际问题课堂小结金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com练习提高与作业七、板书设计基本不等式重要不等式①符号语言：②文字语言：③几何意义基本不等式：①符号语言：②文字语言：③几何意义例题八、教学过程教师活动学生活动设计意图一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗观察、思考数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？基础上发展他们的数学现实．基于此,设置此情境:二、公式探究：(多媒体演示第24届国际数学家大会会标制作过程)学生活动1探究图形中的不等关系。学习小组利用课前准备的4个全等的直角三角形制作会标图形，并将小组作品展示教师巡视适时给予点拨提示：在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。ABCD问题1：（1）正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿鼓励学生上讲台展示自己的制作成果小组代表解释会标中隐含的不等关系与相本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式abba222。在此基础上，引导学生认识基本不等式。ADCBHFGE金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（2）四个直角三角形的面积和S’=＿＿（3）S与S’有什么样的关系？这样，三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：abba222。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。问题2：总结上面结论并证明证明：（作差法）因为222)(2baabba当ba时，0)(2ba当ba时，0)(2ba所以，0)(2ba，即.2)(22abba教师板书：总结结论1：一般的，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。等关系学生总结并证明重要不等式观察重要不等式的结构特点，培养学生数形结合的思想方法培养学生从特殊到一般的数学思想方法金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com问题3：（1）特别的，如果我们用a、b分别代替a、b，a,b应该满足什么条件可得到什么结论？a,b是非负数替换后得到：2abab，)0,0(2baabba通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab（2）你能证明基本不等式2abab吗？总结结论2：)00(2babaab，当且仅当a=b时，等号成立。学生活动2：从不同的角度探究基本不等式2abab的几何意义（阅读课本第98页的“探究”内容）总结文字叙述思考、板书回答类比前面的证明方法归纳、总结思考、加深对基本不等式的理解让学生体会数学知识的严谨性类比是学习数学的一种重要方法，此金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，或利用相交弦定理，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”问题3：你还用其它的几何图形解释基本不等式的意义吗？阅读、回答问题鼓励环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第9页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2baabab∵直角三角形斜边上的中线≥斜边上的高∴abba2baba∵S大三角形+S小三角形≥S长方形∴abba2)(2)(22∴abba2在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.学生到黑板上画出基本不等式几何意义的不同图形学生总结基本不等式的文字表示借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式)0,(2babaab的几何解释，通过数形结合，赋予不等式)0,(2babaab几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。让学生体会从一般到特殊的思想方法培养学生类比的思想方法培养学生的团队合作的意识深入理解基本不等式金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第10页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com四、基本不等式应用例1试判断xx1（x0）与2的大小关系？变式：试判断baab(a0,b0)与2的大小关系？例2(1)在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？思考、运用基本不等式解决问题进一步提高学生的基础知识应用的能力。新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中五、深化与拓展小结学生谈本节课学习的收获及学习过程中印象最深刻的是什么，你还有什么设想教师小结本节课所学的知识要点。1．本节课学习了两个重要不等式及学生思考，引导学生从知启发学生对所学内容总结，提示学生重金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第11页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com九、【教学反思】根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。因此我在本节课的设计中通过动画和图形的演示，让学生看到基本不等式的几何意义，直观生动。也从代数证明和几何证明两方面说明基本不等式的正确性。由于要求学生在课前预习，并辅以多媒体，所以整个引入过程比较快。课堂实施的过程中以学生为主体。包括课前预习，例题放手让学生做，还有练习让学生上台板书等环节，都让学生主动思考，并在发现问题的过程中展示典型错误，及时纠错，达到良好的效果。由于层次清晰，学生掌握得比较好。它们在解决数学问题中的应用。2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件。设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识。识、方法和能力方面总结视探究问题的方法和过程，进一步加深对基本不等式的理解六．作业①必做题：习题3.3：1，2，3；②选做题：能否利用图形解释两个正数的几何平均数③研究性作业：能否对公式)00(2babaab，进行推广