56二叉树期权定价模型

2019/10/10陕西科技大学理学院1第五章5.6二叉树定价模型介绍2019/10/10陕西科技大学理学院2一个简单的二叉树模型•股票的现价为$20•三个月之后股票的价格或为$22或为$18StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$202019/10/10陕西科技大学理学院3StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?一份看涨期权一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$21.2019/10/10陕西科技大学理学院4•考虑一个资产组合:持有D份股票成为一份看涨期权的空头•当22D–1=18DorD=0.25，资产组合是无风险的22D–118D构造无风险资产组合2019/10/10陕西科技大学理学院5资产组合的估值(无风险利率为12%)•无风险组合为:持有0.25份股票成为一份看涨期权的空头•三个月后组合的价值为22´0.25–1=4.50•组合在时刻0的价值为4.5e–0.12´0.25=4.36702019/10/10陕西科技大学理学院6期权的估值•资产组合为持有0.25份股票成为一份看涨期权的空头组合在时刻0的价值为4.3670•股票的价值是5.000(=0.25×20)•从而，期权的价格为•0.633(=5.000–4.367)2019/10/10陕西科技大学理学院7推广到一般情形•一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为TSuƒuSdƒdSƒ2019/10/10陕西科技大学理学院8推广到一般情形(continued)•考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头•当D满足下面的条件时，组合为无风险：SuD–ƒu=SdD–ƒdorDƒudfSuSdSuD–ƒuSdD–ƒd2019/10/10陕西科技大学理学院9推广到一般情形(continued)•组合在时刻T的价值为SuD–ƒu•组合在时刻0的价值为(SuD–ƒu)e–rT•组合在时刻0的价值又可以表达为SD–f•从而ƒ=SD–(SuD–ƒu)e–rT2019/10/10陕西科技大学理学院10推广到一般情形(continued)•于是，我们得到ƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e–rT其中pedudrT2019/10/10陕西科技大学理学院11Risk-NeutralValuation•ƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e-rT•变量p和(1–p)可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率•衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值SuƒuSdƒdSƒ2019/10/10陕西科技大学理学院12最初例子的修正•由于p是风险中性概率，所以20e0.12´0.25=22p+18(1–p);p=0.6523•或者，我们可以利用公式pdudrTee0.120.2509110906523....Su=22ƒu=1Sd=18ƒd=0Sƒ2019/10/10陕西科技大学理学院13期权的估值期权的价值为e–0.12×0.25[0.6523´1+0.3477´0]=0.633Su=22ƒu=1Sd=18ƒd=0Sƒ2019/10/10陕西科技大学理学院14两步二叉树模型•每步长为3个月20221824.219.816.22019/10/10陕西科技大学理学院15欧式看涨期权的估值•在节点B的价值=e–0.12´0.25(0.6523´3.2+0.3477´0)=2.0257•在节点A的价值=e–0.12´0.25(0.6523´2.0257+0.3477´0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF2019/10/10陕西科技大学理学院16一个看跌期权的例子：X＝52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF2019/10/10陕西科技大学理学院17美式期权该如何估值？505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF2019/10/10陕西科技大学理学院181二叉树期权定价模型1.1二叉树模型的基本方法熟悉1.2基本二叉树方法的扩展熟悉1.3构造树图的其他方法和思路了解1.4二叉树定价模型的深入理解熟悉2蒙特卡罗模拟2.1蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉2.2蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉2.3减少方差的技巧了解2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用了解3有限差分方法3.1隐性有限差分法熟悉3.2显性有限差分法熟悉3.3有限差分方法的比较分析和改进了解3.4有限差分方法的应用了解5.6二叉树定价模型2019/10/10陕西科技大学理学院191、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、下降到原先的倍，即。pSuS1-pSd图5.1时间内资产价格的变动SuSudSd把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：tDtD其中.如图5.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。1u1dp1ptD相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。ufdf1.二叉树期权定价模型2019/10/10陕西科技大学理学院20二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动1.二叉树期权定价模型2019/10/10陕西科技大学理学院21二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型1.无套利定价法2.风险中性定价法3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构4.证券价格的树型结构（三）倒推定价法5.倒推定价法二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程1.1二叉树模型的基本方法2019/10/10陕西科技大学理学院22构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当则组合为无风险组合DSuuSdfdDD此时udffSuSdD因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得rtuSfSufeDDD将代入上式就可得到：udffSuSdD1rtudfepfpfD其中dudeptrD1.1二叉树模型的基本方法无套利定价法：2019/10/10陕西科技大学理学院23在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：SdppSuSetr)1(Ddppuetr)1(D假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222(1)[(1)]StpSupSdSpupdD2222)1()1(dppudpputD再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）1/ud由以上三式可得，当很小时：tDdudeptrDteuDtedD从而1rtudfepfpfD以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。1.1二叉树模型的基本方法2019/10/10陕西科技大学理学院24SuSu2Su3SSSuSu2Su4SSdSd3SdSd2Sd2Sd4一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：tiD1ijijdSu其中0,1,,ji注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。1ud1.1二叉树模型的基本方法2019/10/10陕西科技大学理学院25得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。TtDrtD1.1二叉树模型的基本方法2019/10/10陕西科技大学理学院26假设把一期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：其中假定期权不被提前执行，后，则：（表示在时间时第j个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：tDjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSud，0,1,,jNtD1,11,[(1)]rtijijijfepfpfD)0,0(ijNifijtiD1,11,max{,[(1)]}jijrtijijijfXSudepfpfD1.1二叉树模型的基本方法2019/10/10陕西科技大学理学院271.2基本二叉树方法的扩展2019/10/10陕西科技大学理学院28当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：qrqdppuetqr)1()(DdudeptqrD)(teuDtedD1.2基本二叉树方法的扩展对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。qq2019/10/10陕西科技大学理学院29支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价）可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：ijdSujij,,1,0,tiD如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：tiDjijduS)1(0,1,,ji若在期权有效期内有多个已知红利率，则时刻结点的相应的证券价格为：jijiduS)1(tiD（为0时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率）itiD1.2基本二叉树方法的扩展2019/10/10陕西科技大学理学院30将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利，除息日τ在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：*()()SitSitDD当时itD*()()()ritSitSitDeDDD当时（表示红利）itD在时刻：当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：tiDitD*()0jijritSudDeD当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：Dti*0jijSud0,1,,ji（为零时刻的值）*0S*S1.2基本二叉树方法的扩展已知红利额2019/10/10陕西科技大学理学院31利率是时间依赖的情形假设，即在时刻的结点上，其应用的利率等于到时间内的远期利率，则：rftttttDfttedpudD1fttuepudD这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图1.2基本二叉树方法的扩展2019/10/10陕西科技大学理学院32的二叉树图0.5p在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：pud1ud0.5p222rqttueDD222rqttdeDD该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的tD1.3构造树图的其他方法和思路2019/10/10陕西科技大学理学院33三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即tDSuSuSdSSSdSuSu2Su3Su2SuSuSSSdSdSd3Sd2Sd2Sd1.3构造树图的其他方法和思路2019/10/10陕西科技大学理学院34一些相关参数：3tueD1du2211226dtprqD2211226utprqD23mp1.3构造树图的其他方法和思路2019/10/10陕西科技大学理学院35控制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值