5期权定价(2)

1期权定价(2)作业：1.A公司有1000万股流通股，每股交易价格为25美元，公司还有大量的未偿付负债，都将在1年内到期。负债利率为8%，面额为3.5亿美元，但市场交易价格却只有2.8亿美元。已知1年期无风险利率为6%。（1）写出该公司股票、负债及其资产之间的买卖权平价关系公式。（2）该公司违约期权的价值是多少？41一个简单的期权估值模型1.1现金流量贴现对期权估值不起作用期权的风险高于股票的风险，期权的风险随股票价值的波动而波动。深度价内期权比深度价外期权安全；股票价格的上涨可以提期权的价值，也会降低期权的风险。51一个简单的期权估值模型1.2基于普通股和借款构造期权等价物如何得到期权价值：第一种方法：构造普通股投资与借款的组合的期权等价物，使它们的净成本相等。第二种方法：风险中性估值。通过复制来给期权定价为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期日的收益这个组合称为合成的衍生证券要使无套利成立，这个组合的价值必须等于交易的衍生证券的价格无套利原则：如果是公平价格的话，那么你的期货合约的收益率应该和市场无风险利率是一样。风险中性原则无套利原则与对衍生证券的定价今日到期日交易的衍生证券合成的衍生证券收益相同交易的衍生证券的价值=合成的衍生证券（组合）的价值8Eg1:2009年9月购入一份为期9个月的Google看涨期权，行权价格是430美元，股票价格也是430美元。假设：股票价格只有两张变化。¼可能下跌到322.5美元1/3可能上涨到575.33美元期权可能的收益是：股价=322.5股价=573.33一份看涨期权0143.339Eg2:从银行借款181.56美元买入4/7股股票后的收益。假设：股票价格只有两张变化。¼可能下跌到322.5美元1/3可能上涨到575.33美元可能的收益是：股价=322.5股价=573.334/7股股票184.29327.62支付贷款+利息-184.29-184.290143.33ValueofCall=430x(4/7)–181.56=$64.15另一思路头寸大小资产种类股价S↑对各资产价值的影响头寸方向(为了规避风险）△stock价值↑+buy1Calloption价值↑-short△S-C=risklessportfolio(以r借入资金）C=△S-risklessportfolioOptionValuationMethodsSincetheGooglecalloptionisequaltoaleveragedpositionin4/7shares,theoptiondeltacanbecomputedasfollows.7483.25033.14350.32233.573033.143pricessharepossibleofspreadpricesoptionpossibleofspreadDeltaOption14用借款购买股票和看涨期权具有相同的收益，这两种投资的价值也必然完全相同。因此利用借款投资的价值就可以估算期权的价值。复制期权（replicatingportfolio）:为了评估期权的价值，运用借入资金的方式购买股票数量所产生的收益正好复制一份看涨期权的收益。对冲比率（hedgeratio）或期权的德尔塔系数（optiondelta）:复制一份期权的股票数量。期权的德尔塔系数=期权价格可能的价差/股票价格可能的价差1.3风险中性估值价格不依赖于投资是厌恶风险还是偏好风险。投资者风险无差异，股票的期望收益率一定等于无风险收益率:Google股票的期望收益率=6个月期利率（1.5%）风险中性世界中股票价格上涨的概率:期望收益率=（上涨概率×1/3）+（1-上涨概率）×（-1/4）=1.5%上涨概率=45.43%风险中性概率：--p利率下跌概率上涨概率下跌概率Ifweareriskneutral,theexpectedreturnonGooglecalloptionsis1.5%.Accordingly,wecandeterminetheprobabilityofariseinthestockpriceasfollows..454riseofyProbabilit.015RetrunExpected)25(riseofyprobabilit133.33riseofyprobabilitRetrunExpected看涨期权的期望价值：（上涨概率×143.33）+（下跌概率×0）=（0.4543×143.33）+（0.5457×0）=65.11（美元）以对应期限的无风险利率对期权的期望价值贴现，求得看涨期权的期望价值：65.11==64.151+1.015期望的未来价值（美元）利率与看涨期权相似第一种方法：构造资产组合第二种方法：风险中性估值1.4对Google看跌期权的估值TheGooglePUToptioncanthenbevaluedbasedonthefollowingmethod.Case1Stockpricefallsto$322.50Optionvalue=$107.50Case2Stockpricerisesto$573.33Optionvalue=$0SincetheGooglePUToptionisequaltoaleveragedpositionin3/7shares,theoptiondeltacanbecomputedasfollows.429.7350.32233.57350.1070pricessharepossibleofspreadpricesoptionpossibleofspreadDeltaOptionAssumeyouSELL3/7ofaGoogleshareandlend$242.09(@1.5%).ValueofPUT=-(3/7)x430+242.09=$57.82风险中性法：看跌期权的期望价值：（上涨概率×0）+（下跌概率×107.5）=（0.4543×0）+（0.5457×107.5）=58.66（美元）以对应期限的无风险利率对期权的期望价值贴现，求得看涨期权的价值：58.66/1.015=57.81.5看涨期权和看跌期权价格之间的关系：对于欧式看涨期权，看跌期权价值=看涨期权价值-股票价值+行权价值现值Valueofput=64.15+(430/1.015)-430=57.80262期权估值的二项式方法构造股票和贷款的投资组合来准确复制期权的收益划分为若干个时间段，每阶段股票价格只有两种可能的变化，时间段划分的越小，股票价格变化越符合实际。27+22.6-18.4+50-33价格变化率%527.00（？）350.85（？）645.90(215.9)287.27（0）430.00430.00（0）6个月3个月现在2.1事例：两阶段的二项式方法28三个月后期权的价值为了复制期权，三个月后应该购买的股票：三个月后股票价格上涨，期权价值：三个月后股票价格下跌，期权价值为0215.89-0===1.0645.89-430期权价格可能的价差期权的德尔塔系数股票价格可能的价差3=-个月后期权的价值527.00（430/1.0075）=100.20(美元)296个月后期权的价值为了复制期权，；六个月后应该购买的股票：期权的价值：100.2-0===0.5688527.00-350.85期权价格可能的价差期权的德尔塔系数股票价格可能的价差=0.5688-期权的现值股价PV(199.56)=0.5688430-(199.56/1.0075)=46.51(美元)302.2普通二项式法将价值有两种可能变化的时间间隔分割的越来越短，仍然从二项式的最后回溯到当前。资产收益率的标准差与价值的升降联系起来：1+=u=e1=d1/bu上涨变化率下降变化率BinomialPricingPresentandpossiblefuturepricesofGooglestockassumingthatineachthree-monthperiodthepricewilleitherriseby22.6%orfallby18.4%.Figuresinparenthesesshowthecorrespondingvaluesofasix-monthcalloptionwithanexercisepriceof$430.BinomialPricingNowwecanconstructaleveragedpositionindeltasharesthatwouldgiveidenticalpayoffstotheoption:Wecannowfindtheleveragedpositionindeltasharesthatwouldgiveidenticalpayoffstotheoption:BinomialPricingPresentandpossiblefuturepricesofGooglestock.Figuresinparenthesesshowthecorrespondingvaluesofasix-monthcalloptionwithanexercisepriceof$430.OptionValue:PVoption=PV(.569shares)-PV($199.58)=.569x$430-$199.58/1.0075=$46.49BinomialModelThepriceofanoption,usingtheBinomialmethod,issignificantlyimpactedbythetimeintervalsselected.TheGoogleexampleillustratesthisfact.作业：1.重金属公司的股价每月只变动一次：或者上涨20%，或者下跌16.7%，当前股价为40美元。假设年利率为12.7%，月利率大约为1%。A.行权价格为40美元，1个月期看涨期权价值为多少?B.期权的德尔塔系数为多少？C.说明怎样通过购买重金属公司股票和借款的组合复制出这份看涨期权的收益？D.行权价格为40美元，2个月期的看涨期权价值为多少？E.2个月期看涨期权在第1个月里的期权德尔塔系数为多少？373布莱克-斯科尔斯公式股票格连续变化情形下，期权价值的估计。布莱克-斯科尔斯公式其中：N(d)是正态分布的累积概率密度函数EX是期权的行权价格是每一时段内（连续复利）股票收益率的标准差=[]-[]看涨期权价值德尔塔系数股票价格银行贷款12[()][()()]NdPNdPVEX1log[/]2PPVtdt（EX）21ddtP:股票的当前价格t距到期日的时段数量393.1布莱克-斯科尔斯公式的应用Eg:为Google看涨期权估值：当前股票价格P=430美元行权价格EX=430美元连续复利后的年收益标准差=0.4068距离到期日的年数t=0.5年利率=3%fr40第1步：第2步：计算第3步：利用B-S公式求期权价值121log[/]log[430/(430/1.015)](0.40680.5)0.1905220.40680.50.19050.40680.50.0912PPVtdtddt（EX）12()()NdNd12()0.5775()0.4633NdNd12[()][()()][0.5775430][0.4633430/1.015]52.04()NdPNdPVEX美元413.2期权的风险期权的风险与复制的组合风险是相同的，即等于贷款和股票投资的贝塔系数的加权平均数。Eg:Google股票的贝塔系数无风险利率贷款的贝塔系数在股票上投入248.32美元，在贷款上投入-196.29美元期权的贝塔系数：-+==6.07-+期权（196.290248.321.27）196.29248.3