6_期权定价的连续模型及BS公式

1第六章：期权定价的连续模型第一节连续时间股票模型第二节离散模型第三节连续模型的分析第四节Black-Scholes模型第五节Black-Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七节二叉树模型和连续时间模型第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项2019/10/102保罗·萨缪尔森在1965年首次提出：ttttdSSdtSdB（5-1）tSttB——股票在时刻的价格——常量——服从布朗运动。其中：1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。STt10tSeS1tkkSeS2019/10/104若表示T时刻的股价则根据二叉树模型，在一个给定时间间隔Tkt2019/10/1050ktkSeS0TkSTSeS于是令Tkt这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响。2019/10/106上式是下列微分方程的解：dSSdt0()TSTeS（5-2）1~(0,1)ZNc2019/10/107在式（5-1）中，如果令0即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。令随机变量~(0,1)ZN定义110cZtSeeS其中，为常数1kcZtkkSeeS23,,kSSS,,~(0,1),1,2,,iiZiidZNik2019/10/108于是，可得股价序列即设（5-3）2019/10/109于是得：10kiicZktkSeeS（5-4）与式（5-2）相比有什么特点？包含了随机项，因此更接近实际！2019/10/1010terkiicZete该模型有一个优点，包含了随机变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自中的，其作用类似于债券第二个漂移项来自于当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即和货币基金市场中的利率2019/10/10111S21/210cZctSeeS为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对进行重新定义：为什么？2exp(/2)1EcZc2019/10/101210tESeS于是22ccZEee随机变量Z的一个重要等式（5-5）第二个因素表示的随机变量的漂移率为零2019/10/10131kkiiWZ~0,kWNk若令：则：,,~0,1,1,2,,iiZiidZNik且因为：21/20kiicZkcktkSeeS进一步2019/10/10140SktekcWe2/2kce式（5-6）的分析：股票的初始价格；漂移因子（复利因子）；随机因子；修正因子。2/20kcWktkckSeeeS则（5-6）21/210cWtcSeeeS1S2019/10/1015特别注意：模型（5-6）尽管也是一种离散模型，但比二叉树模型具有更丰富的意义。因为允许取任何正值为什么？21exp(/2)1EcWc10tSeS2019/10/1016当时是否否！02004006008001000120000.511.522.533.544.501,0.10,0.40,1Sct0510152025303540455000.511.522.533.54式（5-6）中将时间分成小的增量，并考虑步运行的影响，一段固定的时间可以分成许多小时间段。事实上，针对同样的时间，可以分成不同的个区间。应该注意到：随着的增加，的方差会增加。为了使得的总方差独立于，需要对常量随进行调整。tk2019/10/1019TktTkkkWkkcWkkc可以在和之间建立一个关系式，使得的方差等于kcW2T2019/10/1020kc即令：222()()kkVarcWcVarWckT于是式（5-6）2/20TWTTTSSeee其中~(0,)TWNT2019/10/1021对数正态模型（为什么？）2/20TWTTSSe（5-7）：表明长期趋势；：表明波动率。这两个参数如何影响股价？0204060801001201401600.70.80.911.11.21.31.402040608010012014016002468100204060801001201401600.811.21.41.61.8202040608010012014016011.21.41.61.822.22.40,10,0.50.5,11,111.11.21.31.41.51.61.71.81.9200.511.522.5311.11.21.31.41.51.61.71.81.92012345611.11.21.31.41.51.61.71.81.920123411.11.21.31.41.51.61.71.81.9202468102019/10/102420exp/2ttSSBt（5-8）式中，),0(~tNBt由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。方程（5-1）的解（几何布朗运动）式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。2019/10/1025tBSStt2ln20ttNtBt222,2~2特别注意：目的：对期权进行定价波动率漂移率t(0,1,,)iiniS2019/10/1026几何布朗运动参数估计：思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据，这段时间由n个长度相等的子区间所构成，如果已知第个子区间末的股价，则样本观测值有n+12019/10/1027iiiSSUlnln112/2iiittUBBt计算时间序列值：由于（5-9）第一步11,,~0,iiiittttBBiidBBNt且22/2EUtVarUt2019/10/1028应该注意到：于是，理论上2019/10/1029样本均值：niiUnU11样本方差：niiUUnS12211Ut2/2t2根据式（5-9）的观测值的均值为方差为。第二步2019/10/1030解方程：2/222tStU得/2/2tStSU第三步2019/10/1031一般经验法则是设定度量波动率的时期等于将应用波动率所对应的时期。习题：以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价，请以天为时间单位计算。和3月20日3月21日3月22日3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682019/10/1032假设：◦证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数；◦允许卖空；◦没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；◦在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；◦不存在无风险套利机会；◦证券交易是连续的，价格变动也是连续的；◦在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。◦欧式期权，股票期权，看涨期权2019/10/10330SV()NxX2019/10/1034由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格210dNXedNSVr（5-10）xXPxN式中股票现价期权价格标准正态分布函数期权的执行价格距离到期的时间20121ln//2SXrddd2019/10/1035是否注意到，这一公式中没有出现漂移率：参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。参数是股票价格波动率。2019/10/1036Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价的基本假设。Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉了漂移项，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期，也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并不影响期权价格。从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。2019/10/1037所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界◦所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率◦所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。2019/10/10382019/10/1039应该注意的是：实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非理论公式定价。习题：若某日某股票的相关数据如下，求V0801000.80.050.29SXr2019/10/1040一、修正的模型主要思路：让模型定价等于市价rbeaS2019/10/1041资产组合：a股价格为S0的股票＋现金b则投资额为：baS00（5-11）经过时间后，投资的资金将变为：2019/10/1042bSaeerr00aSSaeerr00SSeaerr（5-12）用无风险利率r贴现得于是2019/10/104300SSeEr00reE对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立则（5-13）Eer0（5-14）由此，即使a值变化，上式总是成立。S2019/10/1044S~S采用股价模型代替真正股价，方差保持不变，且满足下式0rSeESEer0于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式现在的问题是，是否存在这样的？2019/10/1045如果令mBeSS0~（5-15）于是000rBmrSeESSeESe2019/10/1046()1BmrEe2/2mr即为什么？2/02~rBeSS因此，修正的股价模型为：（5-16）2019/10/1047修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被人为设低了。二、期望值对欧式看涨期权：2/20TBrTTSSe2019/10/1048XSEeVTrT将式（5-16）代入得TrZTTeSS2/02~(0,1)ZNTTZB代替2019/10/10492/20TZrTrTVeESeX若则用于是2019/10/1050dxeXTrxTSeVxrT220