Black-Scholes期权定价模型

2019/10/101Black-Scholes期权定价模型2019/10/102Black-Scholes期权定价模型的基本思路期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。2019/10/103为什么要研究证券价格所遵循的随机过程?期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格。期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。2019/10/104随机过程随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随机过程的分类离散时间、离散变量离散时间、连续变量连续时间、离散变量连续时间、连续变量2019/10/105几种随机过程标准布朗运动（维纳过程）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征：特征1：其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。特征的理解特征1：;方差为特征2:马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。zt)Δt,0(~NZt2019/10/106标准布朗运动（续）考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/Δt。很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为NΔt=T，标准差为。为何定义为：当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。相应的一个结果就是：标准差的单位变为连续时间的标准布朗运动：当Δt0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动1()(0)NiizTztTtztz而非年dzdt2019/10/107普通布朗运动变量x遵循普通布朗运动：其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。这里的a为漂移率（DriftRate），是指单位时间内变量x均值的变化值。这里的b2为方差率（VarianceRate），是指单位时间的方差。这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为,方差为b2T.dxadtbdzbT2019/10/108Ito过程和Ito引理伊藤过程（ItoProcess）：普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤过程。Ito引理若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a和b都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为方差率为(,)(,)dxaxtdtbxtdz2221()2GGGGdGabdtbdzxtxx22212GGGabxtx22()Gbx2019/10/109证券价格的变化过程目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。基本假设：证券价格所遵循的随机过程：其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。一般μ和σ的单位都是年。很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程。也被称为几何布朗运动dSdSSdtSdzdtdzS或2019/10/1010Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。2019/10/1011Black—Scholes微分方程B-S微分方程所需的假设条件：1、证券价格遵循几何布朗运动，且期望收益率μ和波动率σ为常数2、允许卖空标的资产3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的4、在衍生证券的有效期内没有红利支付5、不存在无风险套利机会6、证券交易是连续的，价格变动是连续的7、在衍生证券的有效期内，无风险利率r为常数。布莱克——舒尔斯微分方程的推导我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：则：（1）假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：(2)SdzSdtdSzStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：(3)在时间后：（4）将式（1）和（2）代入式（4），可得：(5)zSfSSfftSSfftSSftf)21(2222在没有套利机会的条件下：把式（3）和（5）代入上式得：化简为：(6)这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。trtSSffrtSSftf)()21(2222rfSfSSfrStf2222212019/10/1015时当Tt)0,max(ESf时当Tt)0,Smax(Ef注：此方程有许多解，解方程时得到的特定衍生证券取决于使用的边界条件，这些边界条件确定了在S和t的可能取值的边界上的衍生证券的价值。欧式看跌期权边界条件为对于欧式看涨期权边界条件为2019/10/1016BS公式的一个重要结论——风险中性定价原理从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。2019/10/1017风险中性定价原理所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。