BlackScholes期权定价模型(3)

2019/10/101Black-Scholes期权定价模型2019/10/102Black-Scholes期权定价模型的基本思路期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。2019/10/103为什么要研究证券价格所遵循的随机过程?期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格。期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。2019/10/104随机过程随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。随机过程的分类离散时间、离散变量离散时间、连续变量连续时间、离散变量连续时间、连续变量2019/10/105几种随机过程标准布朗运动（维纳过程）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征：特征1：其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。特征的理解特征1：特征2:马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。zt0,;zNtt方差为。2019/10/106标准布朗运动（续）考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/Δt。很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为NΔt=T，标准差为。为何定义为：当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。相应的一个结果就是：标准差的单位变为连续时间的标准布朗运动：当Δt0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动1()(0)NiizTztTtztz而非年dzdt2019/10/107普通布朗运动变量x遵循普通布朗运动：其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。这里的a为漂移率（DriftRate），是指单位时间内变量x均值的变化值。这里的b2为方差率（VarianceRate），是指单位时间的方差。这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为,方差为b2T.dxadtbdzbT2019/10/108Ito过程和Ito引理伊藤过程（ItoProcess）：普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤过程。Ito引理若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a和b都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为方差率为(,)(,)dxaxtdtbxtdz2221()2GGGGdGabdtbdzxtxx22212GGGabxtx22()Gbx2019/10/109证券价格的变化过程目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。基本假设：证券价格所遵循的随机过程：其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。一般μ和σ的单位都是年。很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程。也被称为几何布朗运动dSdSSdtSdzdtdzS或2019/10/1010为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？一般认同的“弱式效率市场假说”：证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息。马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质，符合弱式假说。投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比较符合现实。2019/10/1011百分比收益率与连续复利收益率百分比收益率：连续复利收益率:百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：有限责任原则：金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞之间变化，不符合正态分布假定。对数收益率（－∞，＋∞）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。多期收益率问题：即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。交叉汇率问题：如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率难以直接计算。如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。00TSSSSS或0lnlnTSS2019/10/1012几何布朗运动的深入分析在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值为：可见，在短时间内，具有正态分布特征其均值为，标准差为，方差为。SSttSS~(,)SttStt2t2019/10/1013几何布朗运动的深入分析（2）但是，在一个较长的时间T后，不再具有正态分布的性质：多期收益率的乘积问题因此，尽管σ是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标准差却不再是。股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。SST2019/10/1014几何布朗运动的深入分析（3）如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随机过程：这个随机过程的特征：普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分布，均值为，方差为。标准差仍然可以表示为，和时间长度平方根成正比。从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个结论:2()2dGdtdz2(/2)()Tt2()TttT－22~[()(),]GTtTt2019/10/1015（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：这意味着：进一步从正态分布的性质可以得到也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。这正好与μ作为预期收益率的定义相符。lnlnTSS22lnln~[()(),]TSSTtTt22ln~[ln()(),]TSSTtTt()()TtTESSe222()()var()[1]TtTtTSSee2019/10/1016（2）股票价格对数收益率服从正态分布由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。将t与T之间的连续复利年收益率定义为η，则22t22lnln~[()(1e),]~[(n,,]lt)TTTSSSSSTtTStTt（T-），＝可得T-由2019/10/1017结论几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。2019/10/1018参数的理解μ：几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。根据资本资产定价原理，μ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。σ：是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。222019/10/1019小结我们可以用几何布朗运动来描述股票价格的运动：符合弱式有效、对数正态分布的市场现实，以及投资者对收益率而非价格的关注。根据Ito引理，可以得到衍生证券所遵循的随机过程。股票价格遵循几何布朗运动，可以得到未来的某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论dSdSSdtSdzdtdzS或2019/10/1020Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏