CEV过程下回望期权改进定价模型探讨

华中科技大学硕士学位论文CEV过程下回望期权改进定价模型探讨姓名：陈俊亮申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：蹇明2011-05-24华中科技大学硕士学位论文I摘要本文在对浮动敲定价格回望期权定价模型做了三方面的改进:第一:假设标的资产服从固定弹性系数方差(CEV)过程的情况下,考虑到现实市场中普遍存在交易费用的背景,依靠无套利定价原理,给出了支付交易费用的浮动敲定价格看跌回望期权的定价公式,并且利用有限差分方法对新模型做数值逼近,分析了该的方法的收敛性和稳定性,同时验证了模型的有效性.第二:在标的资产服从CEV过程的情况下,由于市场信息错综复杂,固定风险利率的假设存在很大的局限性,本文把该条件修改为市场利率服从C-I-R随机利率期限结构,同时利用无套利定价原理得到了服从CEV过程下带有随机利率的回望期权定价模型,并对该模型做数值分析,给出了实证例子,讨论了随机利率因素的增加对于期权价格的影响,以及弹性系数对于资产波动率变化以及期权价格的影响.第三:由于现实市场中出现的偶然的重大政治,经济等不可预见的事件对于期权价格产生意想不到的冲击,故在标的资产服从CEV模型的基础上增加泊松跳跃项或者双指数跳跃项可以更精确的拟合标定原生资产的变化轨迹,特别是双指数跳跃项能够解释市场中出现的厚尾现象,高峰特征等等,作为回望期权定价模型的一个改进和发展,能够解释更广泛的市场变化特征.关键字:CEV有限差分算法支付费用泊松跳跃项C-I-R随机利率华中科技大学硕士学位论文IIAbstractInthispaperweconsiderthreeproblemsinthelookbackoptionpricing:Atfirst,weassumetheunderlyingassetfollowstheConstantElasticityofVarianceDiffusion,inthecaseoftheexistenceofthetransformcostsinthemarket,weobtainanewmodelconsideringthetransformcostsinthelookbackoptionpricingusingthearbitragetheoremintheoptionpricing.Atthesametime,wegetanumericalsolutiontothenewmodel,giveananalysisonitsconvergenceandtheconsistenceandprovetheeffectiveofthesolution.Atthesecond,becauseoftheproblemintheassumethattheinterestinthemarketisconsistent,soweassumetheinterestinthemarketisstochasticintheformofC-I-Randgetanothernewpricinglookbackoptionmodelinthearbitragetheorem.wegiveoneexampleaboutthenewmodel,discusstheimpactofthestochasticinteresttothelookbackoptionandtheimpactofthestochasticvolatilitytothepricingofoption.Atthelast,thejump-diffusionmodelcanexplaintheunexpectedjumpbecauseofthepoliticalandeconomicaleventinthemarket.ThispaperderivesanewlookbackoptionpricingmodelusingtheassumptionthattheunderlyingassetfollowstheCEVjump-diffusionmodelwhichcontainsthetwomodels’advantageabove.Thismodelcapturesthevolatilitysmileandtheunexpectedjumpbecauseofthepoliticalandeconomicaleventandgivestheimprovementinthefixedvolatility.Keywords:CEVmodeltransformcostC-I-RStochasticinterestPoissonjump-diffusionFinitedifferencemethods独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除文中已经标明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名:日期:年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅.本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文.保密□,在年解密后适用本授权书.不保密□.(请在以上方框内打“√”)学位论文作者签名:指导教师签名:日期:年月日日期:年月本论文属于华中科技大学硕士学位论文11绪论1.1期权定价的基本知识金融衍生品市场,期权是指:持有人在规定的时间,按照特定的价格,向对方购买或者卖出规定品质的标的资产例如股票,债券,期货,工商业原材料,粮食作物等等,其实是一种选择的权利,.按照合约中购入和销售原生标的资产的权利划分可以分为：看涨期权和看跌期权；按照实施条款可以将其划分为:美式期权和欧式期权.根据期权合约的执行价格与相关标的资产的市场价格的关系,可以将其分为实值期权,虚值期权和平价期权.以看涨期权为例:当期权的价格低于标的资产的价格时,该期权属于实值期权,执行该期权会带来盈利；如果期权的价格高于当时标的资产的价格时,该期权为虚值期权,此时如果执行期权只会带来损失；当期权的执行价格等于当时标的资产的价格时,称为平价期权,此时执行该期权刚好没有盈利也没有损失.而期权的时间价值是指期权权利金扣除内涵价值的剩余部分,它是指当期权的买方希望随着时间的延长,相关标的资产价格的变动有可能使得期权增值时而愿意为买进该期权所付出的权利金金额.对于期权的购买方而言,标的资产发生对其有利变动的可能性越大,其获利的可能性就越大,相对来说时间价值就越大.随着期权邻近到期日,如果其他条件不变,该期权的时间价值就会衰退,在到期日,该期权就不再有任何的时间价值,只剩下内涵价值.期权价格是众多期权交易者通过市场公开竞价而形成的,其价格的形成受到许多相关因素的影响,因此是一个十分复杂的问题.目前仅仅从理论上讲,针对标的股票S的期权,影响其价格的主要因素的有当前的股票价格S,执行价格K,期权期限T,股票价格的波动率σ,无风险利率r.回望期权作为奇异期权的一种,是指期权持有人可以选择有效期内昀低(昀高)的价格作为敲定价格,可以更好对冲期权市场中的风险.按照回望期权的支付函数条件,还可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格.如果是固定敲定价格,对于看涨期权其支付函数为()maxtFSK+=−,或者对于看跌期权支付函数为()mintFKS+=−.如果是华中科技大学硕士学位论文2浮动敲定价格,相应的收益支付函数对于看涨期权为()minTtFSS+=−,对于看跌期权()maxtTFSS+=−.1.2期权的研究背景随着世界经济的飞速发展,金融衍生品市场在金融市场领域占有越来越大的份额,而且在风险对冲,资金管理方面发挥着越来越大的作用.目前,在世界各个交易所,期权和期货以及与这些标的原生资产相关的各种金融衍生产品非常的活跃,促进了资金市场的资源有效分配,给经济的发展提供了很大动力.针对各种不同的期权如何恰当的定价作为金融工程领域不可避免的核心数学问题,同时一直也是非常活跃的金融工程的前沿课题之一.特别是在1997年,诺贝尔经济学奖被颁发给在这一领域做出奠基性工作的RebortMerton和MyronScholes更直接的表明了该问题在经济研究领域的重要地位.期权作为一种金融衍生工具,在金融市场风险管理方面应用十分广泛.昀初出现于上世纪七十年代,近年来发展十分迅速.期权作为一种金融衍生工具,其定价问题很早就受到关注.LurisBachelier(1900)在投机交易理论中提出来标的资产价格可以利用布朗运动刻画,其标的资产满足的微分方程为:,ttdSdwσ=(1.1)由此得到的看涨期权的定价公式为00(()|)TVESKSS+=−='()()()skksskNTNTTσσσ−−=−+(1.2)其中221(),2Nxedααπ−=∫为正态分布函数,该模型没有考虑资金折现率的影响.在1964年,PaulSamuelson对标的资产价格的模型做了修正,标的资产服从:ttttdSSdtSdwρσ=+(1.3)则由Ito公式,并且假设标的原生资产的收益率与期权收益回报率不一样,得到其相关看涨期权定价公式为华中科技大学硕士学位论文3()0012(()|)()()wTwTwTTVeESKSSeSNdeKNdρ−+−−=−==−(1.4)其中ρ为各标的资产回报率,w为期权收益回报率,但是其中仍然存在对于各种金融工具贴现率的不同看法,而且定价过程不是风险中性.FischerBlack,MyronScholes&Merton(1973)[3]得到了标准欧式期权的定价公式,做出了现代期权定价理论的核心工作,为期权定价打下了里程碑式的根基.其基本假设为:1.市场风险中性,套利机会不存在.2.原生标的资产市场交易费用,股息支付费用,以及税收费用为零.3.投资组合在市场中回报率为恒定的无风险收益率.4.原生标的资产变化服从标准几何布朗运动tttdSudtdWSσ=+.在上述假设条件下,各投资组合得到的收益率为定值,给出了一个理想的风险中性价格,其定价模型为222210,02VVVSrSrVStSSσ∂∂∂++−=≤∞∂∂∂得到Black-Scholes公式为12()()rTVSNdKeNd−=−(1.5)其中21ln()()2()SrTtKdTtσσ++−=−.21ddTtσ=−−.式子(1.5)为现代的金融期权衍生产品定价奠定了基础.随着金融市场快速的发展,(1.5)所要求的基本假设太过于苛刻,并不能够解释金融市场中许多实证现象,例如波动率微笑,厚尾,高峰特征等等.针对标准的期权定价模型假设条件与实际金融市场的重大误差的存在,许多经济学家对于该模型进行了改进,主要有下列几个方华中科技大学硕士学位论文4面:首先针对标的资产的波动率,由于市场信息的错综复杂,各个上市公司的财务状况,收益状况,未来发展趋势都存在很大的不确定性,标的资产价格的波动性不可能为固定值,进而相应的期权价格变化也会有相应的差别,所以针对固定波动率这个假设条件提出了修正.HullJohn和WhiteAlan(1987)[30]提出了如下模型22222ttttdSrSdtSddWddtdWσσασβσ=+=+其中2σ为标的资产的方差,2tdW,2tdW为维纳过程,α,β为固定的值,论文通过这样的假设得到了随机波动率情况下欧式期权的定价公式,并且通过实证得到与实际金融市场中价格的变化的拟合,认为标准的期权定价模型会过高的估计期权价格,而考虑了随机波动率之后,结果明显占优.Denasi(1990)[15]对于上述模型进行了修正,得到均值回复的波动率模型()tttttttttdSSdtSdzdkdtrdwαμσσσσρ=+=−+该模型明显的缺点是σ需要计算,k为需要验证的数据,所需要考虑的变量太多,不能够对于标的资产的变化作出明确的