Chapter9期权价格的敏感性和期权的套期保值

在前面几章中，我们简要分析了决定和影响期权价格的主要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。在这章我们将把各种因素对期权价格的影响程度量化，即计算出期权价格对这些因素的敏感性。本章将介绍期权价格对其标的资产价格、到期时间、波动率和无风险利率四个参数的敏感性指标，并以此为基础讨论相关的动态套期保值问题。1期权头寸难以对冲的原因•若一个金融机构在OTC市场卖出一个期权头寸，而在交易所又找不到与其匹配的对冲头寸；•期权价格随着时间和市场情况的变化，对于标的资产价格变化较为敏感，意味着保值头寸也会变化。•期权价值对于波动率的变化也很敏感。无法用标的资产来对冲。•构造合成期权•止损策略期权的Delta（）用于衡量期权价格对标的资产价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。准确地说，它是表示在其它条件不变情况下，标的资产价格的微小变动所导致的期权价格的变动。用数学语言表示，期权的Delta值等于期权价格对标的资产价格的偏导数。从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线的切线的斜率。3对Delta的理解•假定某看涨期权Delta为0.6，这意味着当股票价格变化一个很小的数量时，相应期权价值变化大约等于股票价值变化的60%。•假设股票价格为100美元，期权价格为10美元。并假设金融机构的交易员卖出了20份该股票上的看涨期权（期权持有者有权购买2000份股票）。交易员的头寸可以通过购买份股票来对冲。•期权头寸的盈利（亏损）可由股票头寸上的亏损（盈利）来抵消。例如，如果股票价格上涨1美元（买入的股票会升值1200美元），期权价格将上涨美元（卖出期权会带来损失1200美元）；如果股票价格下跌1美元（买入股票会损失1200美元），期权价格下跌0.6美元（卖出期权会带来收益1200美元）。4120020006.06.016.0令f表示期权的价格，S表示标的资产的价格，表示期权的Delta，则：据此我们可以算出无收益资产欧式看涨期权的值为：Sf)(1dN无收益资产欧式看跌期权的值为：1)()(11dNdN5从概率分布的性质可知，，因此无收益资产看涨期权的值总在0与1之间；而无收益资产欧式看跌期权的值则总是在-1到0之间。反过来，无收益资产欧式看涨期权空头值就总在-1和0之间；而无收益资产欧式看跌期权空头的值则总在0与1之间。10()1Nd6无收益资产看涨期权和看跌期权值与标的资产价格的关系7无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与到期期限之间的关系8无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta值与r之间的关系9当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时，该证券组合的值就等于组合中单个资产值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：其中，wi表示第i种证券的数量，表示第i种证券值。niiiw1i10由于标的资产和相应的衍生证券可取多头或空头，因此其值可正可负。这样，若组合内标的资产和期权及其他衍生证券数量配合适当的话，整个组合的值就可能等于0。我们称值为0的证券组合处于中性状态。当证券组合处于中性状态时，组合的价值在短时间内不受标的资产价格波动的影响，从而实现相对于标的资产价格的套期保值。但值得强调的是，除了标的资产本身和远期合约的值恒等于1，其他衍生产品的值可能随时不断变化。因此证券组合处于中性状态只能维持一个很短的时间。所以，我们只能说，当证券组合处于中性状态时，该组合价值在一个“短时间”内不受标的资产价格波动的影响，从而实现了“瞬时”套期保值。(案例14.1)11案例14.1期权的Delta中性保值某金融机构在OTC市场出售了基于100000股不支付红利股票的欧式看涨期权，收入$300000。该股票的市场价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为连续复利年利率5%，股票价格年波动率为20%，距离到期时间为20周。由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨期权多头对冲，请问如何运用标的资产（股票）进行Delta套期保值操作？12案例14.1期权的Delta中性保值•初始的Delta值可以计算得到：13522.0)0542.0()(0542.052202.0522022.005.05049ln2ln1221NdNtTtTrXSd案例14.1期权的Delta中性保值这意味着要使组合Delta中性，在出售该看涨期权的同时，需要借入美元购买52200股股票，借入的美元数量为：第一周内发生的相应利息费用为（以千美元为单位并保留小数点后一位数字，则为2.5千美元）若到第一周末，股票价格下降到了。这使得期权Δ值下降到142557800$49522002461$)1(255780052/105.0e8148458.052192.05219202.005.0508148ln2案例14.1期权的Delta中性保值•要保持Δ中性，必须出售股票，出售股票的数量为出售股票得到308000美元的现金，从而使成本下降。第一周内的累计成本为2557800+2500－308000=$2252300第二周内发生的利息费用为之后，如果Δ值上升，就需要再借钱买入股票；如果Δ值下降，就卖出股票减少借款。从课本表14.1可以看出，在期权接近到期时，为实值期权，期权将被执行，Δ值接近1。15股6400100000458.0522.02167$1308000255780052/105.052/105.0ee案例14.1期权的Delta中性保值可以通过标的资产的买卖实现对期权的Δ中性套期保值，在不考虑交易费用（指买入卖出的佣金等费用，利息费用则是需要考虑的）并假设波动率为常数的情况下，运用标的资产进行Δ中性套期保值的成本和效果就和买入了一个看涨期权多头一样。在实际操作中，Δ中性保值方法更常见的是利用同种标的资产的期货头寸而非现货头寸来进行保值，可以获得杠杆作用。16如果出售一份看涨期权，就需要买入一份看涨期权或是通过中性构造一个“合成的看涨期权多头”，收入和费用相抵消，套期保值到底有何意义呢？对于一个稳健经营的金融机构来说，不能让自己处于风险暴露中而不作为，而中性套期保值方法就提供了风险管理的一种手段。首先，专业的金融运营和风险运营机构，往往能够以比市场价格优惠的费率进行套期保值。其次，一家高效运营的现代金融机构，往往先在总资产组合层面上计算对某一标的资产的净值，先在公司内部实现初步的风险对冲，再到外部市场上进行净值的套期保值，从而可以降低套期保值的成本。最后，金融机构可以结合自身的资产状况、市场预期和风险目标来管理指标，不同目标值的设定就可以实现不同风险管理策略。17期权的Theta（）用于衡量期权价格对时间变化的敏感度，是在其它条件不变情况下期权价格变化与时间变化的比率，即期权价格对时间t的偏导数。18tf根据B-S-M期权定价公式，对于无收益资产的欧式和美式看涨期权而言：210.5()2()22()drTtSerXeNdTt对于无收益资产的欧式看跌期权而言：210.5()2[1()]22()drTtSerXeNdTt19当越来越临近到期日时，期权的价值逐渐衰减，因此期权的Θ常常是负的。它代表的是期权的价值随着时间推移而变化的程度。期权的Θ值同时受S、T-t、r和σ的影响。无收益资产看涨期权Theta值与S的关系无收益资产看涨期权Theta值与有效期之间的关系20对Theta的理解•当时间是以年为单位时某期权头寸的Theta为-0.2，这句话的含义是什么？如果交易员认为股票价格与波动率均不会发生变化，什么样的期权头寸比较合适？21提示与解答•期权头寸的Theta为-0.2的含义是，当股票价格或其波动率均未发生变化时，随着期权期限减少Δt单位的时间，期权的价值将会降低0.2Δt。•若交易员认为股票价格与波动率均不会发生变化，那么他应出售Theta值（负数）尽可能小的期权。相对于短期限的平价期权具有很小的Theta值（负数）。22由于时间的推移是确定的，没有风险可言。因此无需对时间进行套期保值。但值与及下文的Gamma值有较大关系。同时，在期权交易中，尤其是在差期交易中，由于值的大小反映了期权购买者随时间推移所损失的价值，因而无论对于避险者、套利者还是投资者而言，值都是一个重要的敏感性指标。23期权的Gamma（）是一个与联系密切的敏感性指标，可以认为是的敏感性指标，它用于衡量该证券的值对标的资产价格变化的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格的二阶偏导数，也等于期权的对标的资产价格的一阶偏导数。从几何上看，它反映了期权价格与标的资产价格关系曲线的凸度。24SSf22根据B-S-M无收益资产欧式期权定价公式，我们可以算出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值为：)(2215.0tTSed25无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与S的关系无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与T-t的关系26Delta中性与Gamma值•对于一个处于Delta中性状态的交易组合来说，如果其Gamma值为正数，则标的资产价格变化幅度较大时，交易组合会有正的收益；如果其Gamma值为负数，则标的资产价格变化幅度较大时，交易组合会遭受损失。27对Gamma的理解•期权头寸的Gamma是什么含义？当某个头寸的Delta为零，而Gamma为一个很小的负数时，该头寸的风险是什么？28提示与解答•一个期权头寸的Gamma是指头寸Delta的变化与标的资产价格变化的比率。比如，Gamma等于0.1，意味着当资产价格有一微小的增量时，头寸的Delta增量为资产价格增量的0.1倍。•根据本课件第26页的结论，我们得到：当期权出售方的头寸的Gamma为一个很小的负数且Delta为零时，如果此时资产价格有大的波动（或者上涨或者下跌），那么期权出售方将遭受损失。29标的资产及远期和期货合约的值均为0。这意味着只有期权有值。因此，当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种期权和其他衍生产品时，该证券组合的值就等于组合内各种期权值与其数量乘积的总和：其中，wi表示第i种期权的数量，表示第i种期权的值。niiiw1i30由于期权多头的Γ值总是正的，而期权空头的Γ值总是负的，因此若期权多头和空头数量配合适当的话，组合的Γ值就等于零。我们称Γ值为零的证券组合处于Γ中性状态。31案例14.2Gamma中性假设某个Delta中性的保值组合的Γ值等于-5000，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的Δ和Γ分别等于0.80和2.0。为使保值组合Γ中性，并保持Δ中性，该组合应购买多少份该期权，同时卖出多少份标的资产？32案例14.2Gamma中性该组合应购入的看涨期权数量等于:由于购入2500份看涨期权后，新组合的Δ值将由0增加到2500×0.80=2000。因此，为保持Δ中性，应出售2000份标的资产。3325000.25000证券组合的值可用于衡量中性保值法的保值误差•Delta中性保值的误差的大小取决于期权价格与标的资产价格之间关系曲线的曲度。值越大，该曲度就越大，Δ中性保值误差就越大。我们曾讨论过无收益资产的看涨期权价格f必须满足B-S-M微分方程又因为因此有：该公式对无收益资产的单个期权和多个期权组合都适用。rfSfSSfrStf22222122,,SfSftfrfSrS222136Delta、Theta和Gamma三者之间的符号关系37期权的Vega（）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格波动率的偏导数：证券组合的Vega值等于组合中各证券的数量与各证券的Vega值乘积的总和。