圆的基本概念与性质

1圆的有关概念和性质一本讲学习目标1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。二重点难点考点分析1、运用性质解决有关问题2、圆周角的转换和计算问题3、垂径定理在生活中的运用及其计算三知识框架圆的定义确定一个圆不在同一直线上的三点点与圆的位置关系圆的性质圆周角定理及其推论垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性四概念解析1、圆的定义，有两种方式：错误!未找到引用源。在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。2、与圆有关的概念：错误!未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示线段AB，BC，AC都是弦；错误!未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦；错误!未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC都是O中的弧，分别记作BC和BAC；错误!未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两2条弧，每条弧都叫做半圆，如AC是半圆；错误!未找到引用源。劣弧和优弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；错误!未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆；错误!未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；错误!未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；错误!未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的AOB,BOC是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；错误!未找到引用源。圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的BAC,ACB都是圆周角。3、圆的有关性质①圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。错误!未找到引用源。垂径定理A.垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧；B.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2所示。注意(1)直径CD，（2）CDAB,(3)AM=MB,(4)BDAC=BC,(5)AD=BD.若上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB不能为直径）。错误!未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；B.同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；错误!未找到引用源。圆周角定理及推论A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。五例题讲解例1.如图所示，C是⊙O上一点，O是圆心，若80AOB∠，求BA的值.例1题图ABCO3ABCDO第3题图E例2.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E．(1)求OE的长．(2)求劣弧AC⌒的长(结果精确到0.1)．例3.如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：ACO=BCD．（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．课堂练习1.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为()A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.10cm或20cm2.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60，则∠COE是（）A.40B.60C.80D.1203.如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为（）A．2B．1C．1.5D．0.54.如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，则∠AOC等于（）A.20°B.40°C.80°D.100°例3题图EDBAOC例2题图（图2）OEDCBA45．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是A．∠BOD＝∠BACB．∠BOD＝∠CODC．∠BAD＝∠CADD．∠C＝∠D6.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）A．5B．7C．375D．377100(2)COBA7.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是()A.80°B.100°C.120°D.130°8．如图，BCAD与的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，80CEB,则CAB等于A．30B．40C．45D．609.如图，A、B、C为⊙0上三点，∠ACB＝20°,则∠BAO的度数为__________。10.如图，ABC△内接于⊙0,AD是⊙0的直径，30ABC，ODABCADBOC第10题图CABO第9题图BOACDEBCDA5题图则CAD度．11.如图，⊙0是ABC△的外接圆，且1324ABACBC，，求⊙0的半径．12.如图所示,花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD,量得门框对角线AC的长为2m.现准备打掉部分墙体,使其变为以AC为直径的圆弧形门,问要打掉墙体的面积是多少?(精确到0.1m2,3.14,31.73)CODBA13.已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是。14.如图6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P。⑴已知：CD=8cm，∠B=30°，求⊙O的半径；⑵如果弦AE交CD于F，求证：AC2=AF·AE.ABCO第11题图（图6）OPFDCBA6OBDCA图7课后作业1.AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于()A.73B.34C.43D.532.如图，在O中，AOB的度数为mC，是ACB上一点，DE，是AB上不同的两点（不与AB，两点重合），则DE的度数为（）A．mB．1802mC．902mD．2m3、如图3，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜54、如图4，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm5．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm．6.如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=120°，AB=AC=4.BD为⊙0的直径，则BD=ODCBAABCDEO（第2题）ABCDE图4BAMO·图377．如图7已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB=°．8．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为9．如图9所示的半圆中，AD是直径，且3AD，2AC，则sinB的值是．10.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为_____m．11.如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，46BOC，则AED的度数为．12．如图，AB为O的直径，CDAB于点E，交O于点D，OFAC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当30D，1BC时，求圆中阴影部分的面积．°°O（第8题图）CBDA图9DBAOCCBAOFDE8