2011中考数学代数式、整式、分式、二次根式知识点

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2.代数式(分类)2.1.整式(包含题目总数:15)001020;001030;001040;001050;001070;001110;001130;001140;001150;001160;001170;001180;001200;001220;001230;2.1.1.整式的有关概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.只含有数与字母的积的代数式叫单项式.注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如:ba2314这种表示就是错误的,应写成:ba2313.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如:cba235是六次单项式.几个单项式的和叫多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项.多项式中不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.单项式和多项式统称整式.用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫代数式的值.注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入.(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,利用“整体”代入.2.1.2.同类项、合并同类项所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.注意:(1)同类项与系数大小没有关系;(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系.把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.2.1.3.去括号法则去括号法则1:括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号.去括号法则2:括号前是“-”,把括号和它前面的“-”号一起去掉,括号里各项都变号.2.1.4.整式的运算法则整式的加减法:整式的加减法运算的一般步骤:(1)去括号;(2)合并同类项.整式的乘法:同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.如:nmnmaaa(nm,都是正整数).幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.如:mnnmaa(nm,都是正整数).积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所有的幂相乘.如:nnnbaab(n为正整数).单项式的乘法法则:单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.注意:单项式乘以单项式的结果仍然是单项式.单项式与多项式相乘的运算法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.如:mcmbmacbam(cbam,,,都是单项式).注意:①单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同.②计算时要注意符号问题,多项式的每一项都包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.注意:多项式与多项式相乘的展开式中,有同类项的要合并同类项.乘法公式:①平方差公式:22))((bababa;②完全平方公式:2222)(bababa,2222)(bababa;③立方和公式:3322))((babababa;④立方差公式:3322))((babababa;⑤acbcabcbacba222)(2222.注意:公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式或多项式.整式的除法:同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减.如:nmnmaaa(nm,为正整数,0a).注意:10a(0a);paaapp,0(1为正整数).单项式的除法法则:单项式相除,把系数和同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里面含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的运算法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.注意:这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式,反之,单项式除以多项式是不能这么计算的.2.2.因式分解(包含题目总数:14)001210;001240;001250;001260;001270;001280;001290;001300;001310;001340;001350;001380;001390;001680;2.2.1.因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.注意:(1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式左边必须是多项式.例如:23248aabba;111aaaa等,都不是因式分解.(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.例如:cbacba222,不是因式分解.(3)因式分解和整式乘法是互逆变形.(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止.如:4425ba在有理数范围内应分解为:222255baba;而在实数范围内则应分解为:bababa55522.2.2.2.因式分解的常用方法1、提公因式法:如果多项式的各项都含有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.提公因式法的关键在于准确的找到公因式,而公因式并不都是单项式;公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数;字母取多项式各项相同的字母;各字母指数取次数最低的.2、运用公式法:把乘法公式反过来,可以把符合公式特点的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.平方差公式:bababa22.完全平方公式:2222bababa;2222bababa.立方和公式:2233babababa.立方差公式:2233babababa.注意:运用公式分解因式,首先要对所给的多项式的项数,次数,系数和符号进行观察,判断符合哪个公式的条件.公式中的字母可表示数,字母,单项式或多项式.3、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键是合理的选择分组的方法,分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式.4、十字相乘法:qxpxpqxqpx2.5、求根法:当二次三项式cbxax2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时,可先用求根公式求出一元二次方程02cbxax的两个根21,xx,然后写成:212xxxxacbxax.运用求根法时,必须注意这个一元二次方程02cbxax要有两个实数根.2.2.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤是:(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式;(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的次数:二项式可以尝试运用公式法分解因式;三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式;四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式;(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.2.3.分式(包含题目总数:16)001100;001330;001331;001420;001430;001460;001470;001480;001490;001500;001510;001520;001530;001540;001550;001670;2.3.1.分式及其相关概念分式的概念:一般的,用BA,表示两个整式,BA就可以表示成BA的形式.如果B中含有字母,式子BA就叫做分式.其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式.注意:(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,它是分式与分数、整式的根本区别;(2)分式的分母的值也不能等于零.若分母的值为零,则分式无意义;(3)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值才是零.分式的相关概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,把分式化成最简分式,叫做分式的约分.一个分式约分的方法是:当分子、分母是单项式时,直接约分;当分子、分母是多项式时,把分式的分子和分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.一个分式的分子和分母没有公因式时,叫做最简分式,也叫既约分式.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.2.3.2.分式的性质分式的基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是:MBMAMBMABA(其中M是不等于零的整式).分式的变号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.如:BABABABA.2.3.3.分式的系数化整问题分式的系数化整问题,是利用分式的基本性质,将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数,使分子、分母中的系数全都化成整数.当分子、分母中的系数都是分数时,这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数;当分子、分母中各项系数是小数时,这个“适当的数”一般是n10,其中n等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数.例、不改变分式的值,把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数,且使各项系数绝对值最小.(1)baba41313121;(2)22226.0411034.0yxyx.分析:第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数,应先求出这些分数所有分母的最小公倍数,然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数,即可把系数化为整数;第(2)题的系数有分数,也有小数,应把它们统一成分数或小数,再确定这个适当的数,一般情况下优先考虑转化成分数.解:(1)babababababa344612413112312141313121;(2)2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0yxyxyxyxyxyxyxyx222212568yxyx.2.3.4.分式的运算法则1、分式的乘除法则:分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示是:bdacdcba;bcadcdbadcba.2、分式的乘方法则:分式乘方是把分子、分母各自乘方.用式子表示是:nnnbaba(n为整数).3、分式的加减法则:①同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用式子表示是:cbacbca;②异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.用式子表示是:bdbcaddcba.分式的混合运算关键是弄清运算顺序,分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇到括号,先算括号内的.例、计算78563412xxxxxxxx.分析:对于这道题,一般采用直接通分后相加、减的方法,显然较繁,注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式,并且每个分子都是分母与1的和,所以可以采取“裂项法”.解:原式717515313111xxxxxxxx711511311111xxxx71513111xxxx752312xxxx7531312752xxxxxxxx75316416xxxxx.点评:本题考查在分式运算中的技巧问题,要认真分析题目特点,找出简便的解题方法,此类型的题在解分式方程中也常见到.2.4.二次

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