1.3.1正弦定理教案(高教版拓展模块)

1.3.1正弦定理一、教学目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。2．让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3．鼓励学生探索发现规律并解决实际问题，激发学生的学习兴趣二、教学重、难点1.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。2.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。三、教学设想：（一）情景导入：巫山是一座长江沿岸的港口城市，现为了方便江南与江北的交通，县政府决定在两岸再建立一座桥。施工之前，需要预测桥的长度，请你根据城市规划图，设计一个计算方案。测量方案：先选准河岸A点和对岸C点，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120，∠BAC=45，如何求A、C两点的距离？问题就转化为在一个三角形中，已知两角一边，求第三边。（二）探讨过程：1、在直角三角形ABC中，其中C是直角。sin,sinabABcc即,sinsinabccAB由于C是直角，所以sinC=1，于是sinccC所以sinsinsinabcABC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）2、可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当三角形ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于D,CabAB此时有sin,sinCDbACDaB即sinsinabAB同理有sinsinacAC故sinsinsinabcABC若三角形ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?不妨设C为钝角，作BD⊥AC延长线于D，此时有sin,sinsinBDcABDaCaC即有sinsinacAC，同理sinsinbcBC故sinsinsinabcABC从上面的研探过程，可得以下定理3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC问：对照公式，请学生总结正弦定理可以解决的问题？（1）正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。（2）正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。（三）例题讲解例1、在ABC中，已知30,135,6BCc，求b.分析：这是已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边，和一角的问题，可以直接应用正弦定理。解：由于sinsinbcBC所以16sin6sin30232sinsin13522cBbC例2、巫山是一座长江沿岸的港口城市，现为了方便江南与江北的交通，县政府决定在两岸再建立一座桥。施工之前，需要预测桥的长度，请你根据城市规划图，设计一个计算方案。测量方案：先选准河岸A点和对岸C点，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120，∠BAC=45，如何求A、C两点的距离？分析：这是已知三角形的两个角和任意一边，求其他边，可以直接应用正弦定理。将文字语言转化为数学语言：在ABC中，已知120,45,1BAc，求b.解：18015CAB62sin15sin6045sin60cos45cos60sin454由于sinsinbcBC所以36sin1sin12029263sinsin15624cBbC例3、已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000解：21030sin45sin10sinsin,sinsin00CAcaCcAa00105)(180CAB25654262075sin2030sin105sin10sinsin,sinsin000CBcbCcBb又（四）练习：教材P18面练习1.3.11、2、3题（五）小结：这节课主要学习了正弦定理的内容，正弦定理的证明方法以及和正弦定理的应用。（1）在发现正弦定理过程中用了观察、实验、猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数学思想。在证明定理时，分三角形为锐角三角形、钝角三角形进行讨论，则体现了数学中分类讨论的思想。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC（3）正弦定理可以解决的问题：①正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。②正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。（六）作业：1、教材P21面习题1.3：2题2、在△ABC中，13sin,cos,133ABa，求b。