1.3.1正弦定理教案(高教版拓展模块)

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1.3.1正弦定理一、教学目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。2.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。3.鼓励学生探索发现规律并解决实际问题,激发学生的学习兴趣二、教学重、难点1.教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。2.教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。三、教学设想:(一)情景导入:巫山是一座长江沿岸的港口城市,现为了方便江南与江北的交通,县政府决定在两岸再建立一座桥。施工之前,需要预测桥的长度,请你根据城市规划图,设计一个计算方案。测量方案:先选准河岸A点和对岸C点,在岸边选定1公里长的基线AB,并测得∠ABC=120,∠BAC=45,如何求A、C两点的距离?问题就转化为在一个三角形中,已知两角一边,求第三边。(二)探讨过程:1、在直角三角形ABC中,其中C是直角。sin,sinabABcc即,sinsinabccAB由于C是直角,所以sinC=1,于是sinccC所以sinsinsinabcABC思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)2、可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当三角形ABC是锐角三角形时,过点C作CD⊥AB于D,CabAB此时有sin,sinCDbACDaB即sinsinabAB同理有sinsinacAC故sinsinsinabcABC若三角形ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?不妨设C为钝角,作BD⊥AC延长线于D,此时有sin,sinsinBDcABDaCaC即有sinsinacAC,同理sinsinbcBC故sinsinsinabcABC从上面的研探过程,可得以下定理3、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinsinabcABC问:对照公式,请学生总结正弦定理可以解决的问题?(1)正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和一角的问题。(2)正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他边和角的问题,此时有可能出现多种解或无解。(三)例题讲解例1、在ABC中,已知30,135,6BCc,求b.分析:这是已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边,和一角的问题,可以直接应用正弦定理。解:由于sinsinbcBC所以16sin6sin30232sinsin13522cBbC例2、巫山是一座长江沿岸的港口城市,现为了方便江南与江北的交通,县政府决定在两岸再建立一座桥。施工之前,需要预测桥的长度,请你根据城市规划图,设计一个计算方案。测量方案:先选准河岸A点和对岸C点,在岸边选定1公里长的基线AB,并测得∠ABC=120,∠BAC=45,如何求A、C两点的距离?分析:这是已知三角形的两个角和任意一边,求其他边,可以直接应用正弦定理。将文字语言转化为数学语言:在ABC中,已知120,45,1BAc,求b.解:18015CAB62sin15sin6045sin60cos45cos60sin454由于sinsinbcBC所以36sin1sin12029263sinsin15624cBbC例3、已知在BbaCAcABC和求中,,,30,45,1000解:21030sin45sin10sinsin,sinsin00CAcaCcAa00105)(180CAB25654262075sin2030sin105sin10sinsin,sinsin000CBcbCcBb又(四)练习:教材P18面练习1.3.11、2、3题(五)小结:这节课主要学习了正弦定理的内容,正弦定理的证明方法以及和正弦定理的应用。(1)在发现正弦定理过程中用了观察、实验、猜想等数学方法,体现了由特殊到一般的数学思想。在证明定理时,分三角形为锐角三角形、钝角三角形进行讨论,则体现了数学中分类讨论的思想。(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinsinabcABC(3)正弦定理可以解决的问题:①正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和一角的问题。②正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角,求其他边和角的问题,此时有可能出现多种解或无解。(六)作业:1、教材P21面习题1.3:2题2、在△ABC中,13sin,cos,133ABa,求b。

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