基于改进的Black-Scholes模型在期权定价的应用

学号：0707014120导师：薛震专业：数学及应用数学基于改进的Black-Scholes模型在期权定价中的应用答辩人：张笑天主要内容1.研究背景意义•近年来随着美国金融海啸的到来，资本市场面临风险加剧的问题。•期权作为风险管理的有效工具倍受投资人瞩目。•期权定价是期权投资的核心因而意义重大。•期权定价模型理论还不成熟。期权————持有人在到期日T，按敲定价格K向出售方买卖原生资产S的权利。获得买权———看涨期权；收益：max,0SK获得卖权———看跌期权；收益：max,0KS期权介绍图1.1看涨看跌期权价值期权价值2.B-S模型及离散二叉树模型资产价格遵循几何Brown运动dSSdtSdW，dW----股票的期望收益率----股票的波动率-----为标准布朗运动2.1B-S模型对称随机游动在每个时间段内等可能的向左或向右移动一个单位长度，现在加速这个过程，在越来越小的时间间隔内走越来越小的步子。若能以正确的方式趋于极限，就得到布朗运动。模拟股票震荡的关键B-S模型的布朗运动可由随机徘徊近似在每个时间间隔内随机徘徊分成向前向后两个状态，即两点分布布。离散的二叉树模型初始股价在时段内或上扬或下挫00rtudSuSSdSe；；2.2二叉树模型图2.1资产波动的二叉模型股票价格和期权价值变化同步，对应股票价格的两种不同态欧式买权期权分别为欧式看涨期权价格max(,0)max(,0)uuddCSKCSK欧式看跌期权价格max(,0)max(,0)uuddCKSCKS图2.2期权价值波动二叉模型在两种不同股价中对冲操作价值分别为::uuudddSSCSSC投资组合初期资金流入股价上扬股价下挫买出看涨期权买入份股票0uSuS0dSdS00SCuuSCddSC表2.1投资组合由于该投资组合是套期保值资产组合，对任何可能状态下取值，资产组合的收益相同，在无套利市场环境中两种交价值等同，都与无风险储蓄收益等值00(uuSCSC）00(ddSCSC）)01)udduCCCudud（我们并不是在完全化的条件下来为期权估值。我们只是根据标的股票的价格来估计期权的价值，未来上升和下降的概率其实已经包含在股票的价格之中了，公式本身包含了随机因素。{}uudqPSSud{}dduqPSSud1udqq0,1udqq股票上升的概率股票下降的概率期权的预期收益预期收益值按无风险利率贴现的值01)udduCCCudud（uqdqudduCCudud多步二叉树模型以单期看涨期权的二叉式期权定价公式为基础，可以得到看涨期权的二叉期权定价公式，然后推广到n期看涨期权二叉树期权定价公式。将期权的生存周期区间划分010....NtttT初始原始资产可达状态00,1,2,....{}NNSud这是模拟股票的可能取值看张期权对应的价值为00,1,2,....{()}NTNCSudK对应的概率{}udPSSqud{}1duPSSqud0(1)hhlllnqql0nllSud期权的预期收益0001(1)()nnllnllnlnCqqSudKl　输入初始股价及参数u,d模拟T时刻n+1种股价取值计算每种股价取值的概率计算出期权预期收益与T时刻收益等效的初始时刻无风险储蓄值即为期权价格算法流程B-S模型和二叉树模型关系二叉树模型的两个区值•两点分布•模拟两个股价的两个区值取值多步二叉树•N重伯努利实验•模拟N+1个可能取值B-S模型•布朗运动•大量可能取值•布朗运动是随机徘徊的极限利用伊藤过程推得221ln()2dSrdtdW3改进的二叉树方法求解及比较分析3.1对参数改进为了方便问题的解决，采用了二叉树模型。二叉树模型实质是B-S模型离散后，对参数的改进仍要从B-S模型本身找依据。dSSdtSdWlnulndp1p221ln()2dSrdtdttttSS的在二叉树模型中满足的两点分布表2.2两点分布用两点分布代替正态分布是(-1,1)等概率的两点分布221ln()2dSrdtdW~(0,1)N221ln~((),)2Nrtt22()2()212rttrttpuede22223332222331(ln)ln(1)ln2(ln)(ln)(ln)1)11((ln))(ln)(1)(ln)3()()()()22EpupdrVarupdptEpupdrtrt（考虑到波动率是时间函数，每个数据有用信息量不同。利用指数加权平移法是以几何衰减的指数为权重具体表示2121|11(1)()njttttjjuu这样波动率对时间更加敏感B-S模型中波动率是常数，这与股票价格时时有跳跃的情况相背。波动率应与时间有关。1lniiiSuS对波动率的修正选取2005．05．12到2005．06．10这22个交易日：标的股票为AppleC、敲定价格为35美元、到期日为2005．07．20的期权交易数据为样本计算样本观测值收益率3.2数值模拟图3.1收益率改进的二叉树模拟值和真实值比较图3.2真实值和模拟值比较4总结和展望进而将重点转移到布朗运动模拟股票波动核心问题，利用布朗运动和两点分布的随机序列的关系，对参数取法进修正。客服原有模型中对概率取值可能为负或大于1的问题。端针对模型中参数恒定的假设，提出参数是时间的函数在计算波动率时考虑到各个数据有效信息的多少不同采用后今薄古的计算方法。把参数考虑成随机变量，如何恰当的估计需进一步研究。谢谢