抽象函数的对称性、周期性(学生版)

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()fxTfx恒成立，则称函数()fx具有周期性，T叫做()fx的一个周期，则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正周期。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)(xfy图象关于Y轴对称2、奇函数)(xfy与)(xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与()yfx图象关于X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1()yfx图象关于直线yx对称5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0x对称推论2:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称推论3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称三、函数周期性的几个重要结论若()()fxafxb，则()fx具有周期性；若()()faxfbx，则()fx具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、()()fxTfx(0T))(xfy的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期2、()()fxafxb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT25、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT211、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212、)(xfy有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy周期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413、)(xfy有一条对称轴ax和一个对称中心)0,(b()ba()fx的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例5．设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(xf的周期为4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.例题与应用例1：f(x)是R上的奇函数f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007)的值例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当0,2x时，f(x)=－2x+1，则当6,4x时求f(x)的解析式例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数