套利定价模型_APT1

第四章套利定价理论APT•套利定价理论(ArbitragePricingTheory,简称APT)是由斯蒂夫•罗斯(StephenRoss)于1976年提出的。他试图提出一种比CAPM传统更好的解释资产定价的理论模型。经过十几年的发展，APT在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM。第一节因素模型和套利p54•FactorArbitrage•风险都是由因素风险引起，只要避免了因素风险就避免了全部的风险•APT假设证券回报率与未知数量的未知因素相联系•分析每种证券对因素变动的敏感性•每个证券对于该因素的变化是如何应对的•套利行为必须是“没有风险”的单因素模型•单因素模型假设：证券市场中的各个证券之间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普遍产生影响•例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受到工业产值的预期增长率G的影响•从历史数据出发，通过回归分析可以建立证券收益率与G之间的线性关系TtGbarttt,...,,,21单因素模型的一般表述•单因素模型认为：只有一个因素F对证券收益率产生普遍的影响•建立证券I的收益率在任意时期t的估计式ittiiitFbarFt为t期因素F的预期值；bi为证券i对因素F的敏感性；rit为证券i在第t期的实际收益率；εit为证券i在第t期的误差单因素模型下期望方差计算•期望收益率•方差或因素风险•证券间协方差22222)()()(FjiijiFiiiiibbbFEbarE市场模型——特殊的单因素模型•如果将市场组合m的收益率rm作为单因素模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型•M的收益率用市场价格指数收益率代替•以市场指数收益率作为单因素的单因素模型称为市场模型，表达式为：iIIiIiIirar敏感性＝β系数单因素模型下风险的解•总风险分解成•两部分•因素风险，类似系统风险•非因素风险，类似非系统风险niiiPniiiPxbxb12221)()(,)()(PFPPFPPbb2222222多因素模型•假设证券收益率受K个共同因素•F1，F2，…，FK的普遍影响•用多元线性回归，建立如下的证券i的收益率与K个因素的关系式itKtiKtiiitFbFbar...11多因素模型下证券或组合的期望方差协方差计算•期望收益率•方差或因素风险•证券间协方差lslsjsiljlisKsFsjsisijsjsjisijiKjFjijiKkkikiiFFbbbbbbFFbbbFEbarE),cov(2),cov(2)()()(12212221套利和近似套利p56•“无套利”是APT的最基本假设•如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不同期望收益率的原因是什么?套利的定义•套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为•套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时以较低价格购进相同的证券•现实中难以存在•套利行为是现代有效市场的一个决定性要素•套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种机会就会设法利用它们•一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从事套利活动•只有极少的积极投资者能够发现套利机会•随着他们的买进和卖出，套利机会将消除近似套利的定义•用因素模型说明“近似套利机会”•如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提供相同的期望收益率•如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了“近似套利机会”•卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合，就肯定可以获得正利益•利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失•近似＝除了非因素风险之外•如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”APT的研究思路•首先，分析市场是否处于均衡状态；•其次，如果市场非均衡，分析投资者会如何行动；•再次，分析投资者的行为会如何影响市场并最终使市场达到均衡；•最后，分析在市场均衡状态下，资产的预期收益由什么决定。套利组合p57为实现套利，需要买入一些证券，同时卖出一些证券，该过程就是构建套利组合构建套利组合需要满足的3个条件第一，不增加额外资金。套利组合中买入证券需要的资金来自卖出证券所的资金第二，套利不承担风险。因素模型中的风险是因素风险第三，套利提供正利润。新证券组合的收益率必须大于前组合的收益率套利组合条件公式表示)~(,............iinnnKnKPKnnPnrEEExExbxbxbbxbxbxxx000011111111121对公式的说明•可以用矩阵的方式表示•x表示权重改变量，未知，需要求解•满足公式的x都是套利组合•解一般是不唯一的构建套利组合后的“处境”从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合•新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合•套利组合期望收益率＞0•新组合的敏感性=旧组合的敏感性•新组合因素风险＝旧组合因素风险•由于存在非因素风险•新组合风险不一定等于旧组合的风险套利定价方程•套利定价方程是判断是否存在套利机会的工具•Ei（i＝1，…n）满足何种条件，解不存在，•可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函数,就是说不再存在套利机会KiKiiibbErE...)(110方程中λ的含义•根据无风险证券•λ0＝rf•构造特殊的证券组合δj•δj对因素Fj的敏感性bj＝1，而对其他因素的敏感性bi＝0（i≠j）•δj的期望收益率E（δj）＝rf＋λj•λj＝E(δj)－rf•类似于标准正交基下的坐标单因素影响程度预期收益EABCDE1E2单因素影响程度预期收益EABCD套利定价模型的计算实例•例1。工业产值为单因素•投资者拥有3种证券，每种证券的当前市值均为4000000元。•总资金＝12000000元。•3种证券预期回报率和敏感性如下表ir证券预期回报率(%)敏感性bi证券1证券2证券31521120.93.01.8•期望和敏感性的改状态，是否可以引起存在套利？•解“方程”•x1＋x2＋x3＝0•0.9x1＋3.0x2＋1.8x3＝0•15x1＋21x2＋12x3＞0•解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1,•x2＝0.075，x3＝-0.175新旧组合的比较旧组合套利组合新组合权数X1X2X3性质rbσ0.3330.3330.33316.000%1.90011.000%0.1000.075-0.1750.975%0.000很小0.4330.4080.15816.975%1.900约11.000%第二节多因素定价模型的推导p59•因素模型的5个假设条件•假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分•假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场•假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证券i对因素Fk的敏感系数•假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面的渐进套利的概念提供了基础。•假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptoticarbitrageopportunity）对假设2的说明•根据回归模型中的假设•用“线性变换”的构造新的因素•使得满足“标准正交”的条件112222()...cov(,)()0,()1cov(,)()0,()iiiiiKKiijkikiiiirRERbFbFFFEFEFFEE因子载荷—矩阵形式•B是敏感度系数矩阵，或因素载荷矩阵（factorloadingmatrix）•思考：用矩阵形式表示，因素和误差的限制条件TNTKKNijTNFFFbBRRRFBRER)~,...,~(~,)~,...,~(~)()~,...,~(~~~)~(~111渐近套利机会—对假设5的说明•存在一个证券组合序列，满足三个条件•与套利组合三个条件相对应030201211111)~var(lim)()~(lim)()(,...,,),...,(niininniininnininnnnRWRWEWn•例，一个投资者拥有四种资产，他投资于每种资产的当前市值均为50000元，此时该投资者的可投资财富为200000元。且这四种资产的预期回报率和敏感性如表回报率%bi1bi21100.61.52142.01.2381.20.8461.52.0•根据套利组合的条件可得12340xxxx12340.62.01.21.50xxxx12341.51.20.82.00xxxx123410%14%8%6%0xxxx•解上述方程组，并令=0.1，则可求出，•=0.1107，=-0.1155，=-0.0952。•这就是说，若投资者按的值调整资产i的持有比例，则新的投资组合可使预期回报率提高2x(1,2,3,4)ixi3x4x1x0.1*10%0.1107*14%(0.1155*8%)(0.0952*6%)1.05%•这个套利组合是由卖出资产3和资产4，同时买入资产1和资产2实现的。•投资者的买卖行为使得资产1和资产2的价格逐渐上升，它们的预期回报率逐渐下降，资产3和资产4的价格逐渐下降，其预期回报率逐渐上升。•资产i(i=1,2,3,4)价格变化的结果，最终使套利组合的预期回报率为零，在这种情况下市场便达到了均衡状态。多因素模型下定价公式p60•如果风险证券收益率由K因素模型给定，•存在形如下式的线性定价公式KkkikibRE10)~(定价公式的误差分析。n＝风险证券的数量定理4.1：如果风险证券收益由K因素模型给定，那么，存在的实数λ0，λ1，…，λK，使得011201KkkikniinbREn))~((lim对定价公式的说明•证明过程给出了公式中系数λi的具体计算•系数λi＝因素i的风险溢价•总误差=每个证券的残差平方和•证券的数量大的时候，总误差趋向于0•将每个证券残差V，从大到小“排队”•“小的”——定价准确•对个别证券，其定价可能“不准确”•可以用线性代数的方法推导定价公式定价公式中的因素风险溢价没有经济含义p62•(λ1，…，λK)＝factorriskpremium•类似多元统计分析中的因子•定理4.2：对于任意无套利定价模型，可以构造出与原来K个因素不同的另外K个不相关因素，使得，这K个新因素中仅有一个具有正的因素风险溢价完全分散化p63•因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组合解释•完全分散化证券组合—fullydiversifiedportfolio•定义：完全分散化证券组合是证券组合序列p(n)的极限过程。p(n)满足下面两个条件CnWnninWnnWnWnpniinin1212210121)(lim)(;,...,,,)()(,...,,))(),...,(()(对定义的说明•完全分散化证券组合的投资权重由极限方式产生•每个资产的投资比例权重Wi趋于0•“大多数”（有限个除外）资产，•Wi(n)＝O(n-1)•如何理解，投资于资产的权重是0？•类似于概率论中的“密度”•应该从“密度”的角度来理解完全分散化证券组合投资于每种资产的比例•不能仅仅看到它都等于0完全分散化证券组合的非因素风险等于0p64•在完全分散化证券组合下，非因素风险是无穷小量序列的极限，即0212212nnWnnWniininiin)(lim)(lim反之不成立，有反例存在不是完全分散化证券组合，其非因素风险是0完全分散化下定价是精确的p64•一般来说，定价公式有误差•对于完全分散化证券组合，没有误差•定理4.3：对于完全分散化证券组合p，其预期收益满足KkkpkpbRE10)~(在取极限状态下，误