布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

第七章布莱克-舒尔斯期权定价模型第一节数学基础知识•一、标准布朗运动（或维纳过程）•设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化。如果具有如下两个基本性质，则是一个标准布朗运动（维纳过程）：•性质1：与的关系为:tztzzztzt其中，，即标准正态分布中取的一个随机值。性质2：对于任何两个不同时间间隔，的值都相互独立。二、对维纳过程的分析从性质1可看出：服从正态分布，即：(0,1)Nztz0EzEttE•方差则为•故:DzDttDtzt的标准差为(0,)zNt从性质2可看出，Z遵循马尔科夫过程。将时间T分成N等份，则：1111()(0)()(0)(0)()()()((0),)0NiiNiiNNiiiizTztEzTzEtzDzTDttDNtTzTNzTtdzdt即：的正态分布且，当时，得到Z的极限分布：•三、普通布朗运动•引入两个概念：漂移率和方差率。•标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1•我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动•其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。dxadtbdz•四、伊藤过程（ItoProcess）•普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程•其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。dztxbdttxadx),(),(•五、伊藤引理•若变量x遵循伊藤过程•则变量x和t的函数G将遵循如下过程：•证明如下：bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222=a(,)(,)dxxtdtbxtdz•由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：2222222322222221t2x1....x2t=a(,)(,)a2abba(,)aGGGGxtxxGGxtttxxttbxttxttttxt由于故（）（）最后一项是一次项。(简写为)•所以222222222221t2x1....x2t1bt2xGGGGxtxxGGxtttGGGxttxxt其余和的高阶项全部忽略•再看，很显然，由于是一个遵循标准正态分布的随机变量，故也是一个随机变量。2t2t2222222222()()()1(t)t()tttttt00tt0tEEEEE由于D=所以：再看的方差DD，是高阶无穷小，在时，可忽略为这样，是期望值为，方差近似为的随机变量。故可直接用期望值近似代替。•这样，22222222222221bt2x1bt2x1abt2x1abt2xd,GGGGxttxGGGxttxGGGtbzttxGGGGtbzxxGtzGdtdz将、、分别换成、、就得到伊藤引理。故引理得证。伊藤引理的运用•六、证券价格变化——几何布朗运动•1、证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示：•两边同除以S得：22SSdzSdtdSdzdtSdS•可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：•也符合正态分布ttSS),(~ttSS2、几何布朗运动假设的合理性a、收益率与价格水平无关b、收益率波动性与价格水平无关c、收益既有可合理预期部分，又有不可预测部分，符合现实。d、正态分布：经验事实证明，股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布e、数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，从而与弱式EMH相符。•3、证券价格的自然对数变化过程•假定，令，由于•根据伊藤引理：•证券价格对数G遵循普通布朗运动,且SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2SdzSdtdS222lnln~[()(),()]TSSTtTt•4、股票价格服从几何布朗运动后具有的性质：•5、百分比收益率与对数收益率•6、波动率σ第二节B-S-M期权定价公式•一、假设二、B-S模型的推导•假设证券价格S遵循几何布朗运动：•假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：dSSdtSdzSStSz则zSSftSSftfSSff)21(2222•为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：•在时间后：•将前述和代入，有：zfSfSfSfSfStfS2222222222221()21()21)2fSfSfffffSSStSzSStSSfffffStSzSStSzSStSSffSttS（）（可见，实际上是确定的，不包括随机变量。因此，组合实际上是一个无风险组合。在没有套利机会情况下，组合只能获得无风险收益222222221()()212rtfffStrfSttSSfffrSSrftSSBS代入和，得到，即此即微分方程三、风险中性定价原理四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式五、对BS定价公式的理解之一六、对BS定价公式的理解之二七、无收益资产欧式看跌期权的定价公式第三节BS定价公式的精确度评价•BSM期权定价公式在定价方面存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一，应用广泛，影响深远•BSM期权定价与市场价格存在差异的主要原因：期权市场价格偏离均衡；使用错误的参数；BSM定价公式建立在众多假定的基础上BS期权定价公式的缺陷与拓展•无交易成本假设的放松•常数波动率假设的放松•参数假设的放松•资产价格连续变动假设的放松第四节期权定价的鞅方法•一、问题•前述B-S微分方程解法很复杂，不实用•二、鞅方法的提出•是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如期权，而不用解偏微分方程了。三、期权定价的鞅方法TT-tT为方便起见，将时间间隔表述为0，，即原来的就用表示。2202lnln~[(),]TdSSdtSdzSSTT根据前述推理，在标的资产服从情况下，根据伊藤引理，有：22T02R=lnln~[(r),]TSSTTr则在风险中性概率下：此处，为标准正态分布，为无风险利率。TtTSSTRe风险中性概率下时刻股票价格则为：p在风险中性情况下，表示风险中性概率，则欧式看涨期权定价为：pCE[max(,0)]rTTeSK=p0E[max(S,0)]TRrTeeKT0max(S,0)dpRrTeeK22T22T1()20T21max(S,0)dRrTRrTTeeKeRTT0T0Sln()SRKeKR显然，当，即时，22T22T01()20T2ln()S1C(S)dRrTRrTTKeeKeRT=22T22T022T2201()20T2ln()S1()2T2ln()S1Sd1dRrTRrTTKRrTrTTKeeeRTKeeRT2T2()ZRrTT令，则：22T220221021()2T2ln(S)1Z2ln(S)()1d1dZRrTrTTKrTKrTTKeeRTKee2220221Z2dln(S)()d1dZrTKrTTKee令则上式221dZ221=dZN(d)rTrTKeeKe=22T22T01()20T2ln()S1SdRrTRrTTKeeeRT再来看第一项22T2T2()ZZ()RrTRTrTT由于，22221ZZ()20d1SdZTrTrTeee上式22221dZZ201SdZTTee2221d(Z2Z)201SdZTTe221d(Z)201=SdZTeH=ZT令221d(H)201SdHTe则上式020112SN(d)=SN(d)d=dTT此处，012CSN(d)N(d)rTKe这样，就推导出了欧式看涨期权价格为：=