布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型第一节证券价格的变化过程第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型第三节期权定价中的希腊字母第四节B-S公式的实证研究和应用Black-Scholes期权定价模型的基本思路：相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。第一节证券价格的变化过程一、随机过程随机过程（StochasticProcess）：用来描述一个随机变量随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的划分：时间的连续性离散时间随机过程连续时间随机过程变量取值范围的连续性离散变量随机过程连续变量随机过程普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化在现实中，资产价格总是随机变化的。第一节证券价格的变化过程二、布朗运动(BrownianMotion)——维纳过程设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足：其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。tztzztzttz当0时，得到极限的标准布朗运动：tdzdt标准布朗运动第一节证券价格的变化过程二、布朗运动对标准布朗运动的理解：本身具有正态分布特征，均值为0，方差为，标准差为。标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：以表示变量z在T中的变化量，可以看作N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中，因此：z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为。ztt()(0)zTzt/NTt1()(0)NiizTztT第一节证券价格的变化过程二、布朗运动变量X遵循普通布朗运动：a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。方差率b2：单位时间的方差普通布朗运动的离差形式dxadtbdzadtbdt普通布朗运动xatbt第一节证券价格的变化过程二、布朗运动对普通布朗运动的理解：遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍。在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，方差为，标准差。标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。2bTbTxatbtdxadtbdz第一节证券价格的变化过程三、伊藤过程假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数dz是一个标准布朗运动a、b是变量x和t的函数变量x的漂移率为a，方差率为b2。(,)(,)dxaxtdtbxtdz伊藤过程(ItoProcess)dxadtbdz第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为、方差率为的伊藤过程来表示：dSSdtSdzS22S第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率：证券收益率单位时间的方差：证券价格的波动率（Volatility）：遵循标准布朗运动dSdtdzS2dz几何布朗运动的离散形式SttS几何布朗运动第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程几何布朗运动的基本特征：在短时间后，证券价格比率的变化值为：因此：也具有正态分布特征，其均值为，方差为，标准差为即：表示均值为m，标准差为s的正态分布tSSSttSSSt2tt~(,)SttS(,)ms第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程对几何布朗运动的理解：但是，在一个较长的时间T后，不再具有正态分布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标准差却不再是。SStT思考：一个投资者以100元的价格买入股票，首先获得10%的收益然后再损失10%，看上去不赔不赚但是，具体情况如何呢？第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”：证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息。马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质，符合弱式假说。dSdtdzSSttS第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布股票价格服从对数正态分布。dSdtdzSSttSSS第一节证券价格的变化过程四、证券价格的变化过程证券价格S遵循伊藤过程：衍生证券的价格G是证券价格S和时间t的函数，G(x,t)将遵循如下过程：其中，dz是一个标准布朗运动G遵循伊藤过程：漂移率：方差率：伊藤引理(ItoLemma)dSSdtSdz22222()1GGGGSSSStSdGdtdSz222212GGGSSStSGSS第一节证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程令G=lnS，根据伊藤引理：22221()2GGGGdGSSdtSdzStSS22211,,0GGGSSSSt2()2dGdtdz•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率和恒定的方差率。•在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t)仍然服从正态分布，均值为，方差为，标准差为，和时间长度平方根成正比。2222()()2Tt2()TtTt第一节证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程从以上分析，可得知：几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：即：证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分布可知：()()lnlnTGTGtSS22lnln~[()(),]TSSTtTt22ln[()()ln,]TSTtSTtT-tE(Se())TST-tT-tVar(See222()())[1]TS第一节证券价格的变化过程五、证券价格自然对数变化过程例：设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动，且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的价格ST的概率分布如何？22ln[()()ln,]TSTtSTt第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型第一节证券价格的变化过程第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型第三节期权定价中的希腊字母第四节B-S公式的实证研究和应用第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型一、布莱克-舒尔斯微分方程假设：证券价格遵循几何布朗运动，即和为常数允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型一、布莱克-舒尔斯微分方程由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔中，S的变化值为:设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔中，f的变化值为dSSdtSdztSSStSz22221()2ffffdfSSdtSdzStSS22221()2fffffSStSzStSSf从以上分析可得：构建组合:包含一单位衍生证券空头和单位标的证券多头SStzS22221()2fffffSStSStSSzztfSffSStffSS22221()2ffSttSrt222212fffrSSrftSS2222102fffrSSrftSS布莱克-舒尔斯偏微分方程第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型一、布莱克-舒尔斯微分方程风险中性定价原理：根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和无风险利率(r)。反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率μ，对衍生产品的价值不会产生影响。假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。风险中性定价的一般程序：所有资产的预期收益率都等于无风险利率确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值把期望值按无风险利率贴现第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型一、布莱克-舒尔斯微分方程风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：边界条件：TTfSK()()()()()()()ˆ()ˆ()rTtTrTtrTtTrTtrTtrTtrTtfeESKeESeKeSeeKSeK第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型二、布莱克-舒尔斯期权定价公式股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：表示风险中性条件下的期望值欧式看涨期权的价格c等于将该期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：ˆ[max(,0)]TESXˆE()ˆ[max(,0)]rTtTceESX2ln[ln()(),]2TSSTtTrt第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型二、布莱克-舒尔斯期权定价公式无收益资产欧式看涨期权的定价公式：()12()()rTtcSNdXeNd21ln(/)()()2SXrTtdTt221ln(/)()()2SXrTtddTtTtN(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数根据标准正态分布函数特性，有N(-x)+N(x)=1第二节布莱克-舒尔斯期权定价模型二、布莱克-舒尔斯期权定价公式对BS公式的理解N(d2)是风险中性下，ST大于X的概率，即欧式买权被执行的概率X的风险中性期望值的现值：ST的风险中性期望值的现值：()2()rTtXeNd()11()()rTtTSNdSeNdΔ=