材料力学-第二版-范钦珊-第4章习题答案

—70—材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案第4章弹性杆件横截面上的切应力分析4－1扭转切应力公式p/)(IMx的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。（A）等截面圆轴，弹性范围内加载；（B）等截面圆轴；（C）等截面圆轴与椭圆轴；（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。正确答案是A。解：p)(IMx在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。4－2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max1和max2，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论的正确性。（A）max1＞max2；（B）max1＜max2；（C）若G1＞G2，则有max1＞max2；（D）若G1＞G2，则有max1＜max2。正确答案是C。解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即21由剪切胡克定律G知21GG时，max2max1。4－3承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、)/(222DdD的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。（A）234)1(；（B）)1()1(2234；（C）)1)(1(24；（D）)1/()1(2324。正确答案是D。解：由max2max1得)1(π16π1643231dMdMxx即31421)1(Dd（1）)1(222212121DdAAWW（2）（1）代入（2），得2324211)1(WW4－4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。正确答案是C。解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21，因212GG，由剪切胡克定律得交界面上：212。习题8-4图习题4-5图—71—习题4-6图4－5等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(daa的切应变sa，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。正确答案是A。4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。解：1．7.7006.0π1610316π333PPmax1dTWTWMxMPa2．4π2dπ2d4pp01rIMIMAMxxrAr∴%25.6161)6015(161632π4π24π244444p4drdrIrMMxr3．43pmax2)21(116πdTWMx%67.6151)21(1)21(14444max1max1max24－7图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。解：6311pmax106016πdTWMx轴3387101666π10609361TN·m64322pmax1060)8068(116πdTWMx套2883)2017(1101680π106049362TN·m∴28832maxTTN·m31088.2N·m4－8由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2=n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：22hs11nnTT解：由已知长度和质量相等得面积相等：)(ππ212220RRR（1）2π16π30s3smaxRTdT（2）)1(16)2(π432hmaxnRT（3）习题4-7图STSTR2hT2R1RhT—72—由（2）、（3）式)1(43230hsnRRTT（4）由（1）212220RRR代入（4）∴22222324232432232122hs11)1)(1()1(1)1()1()(nnnnnnnnRRRTT4－9图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为T=Mx。试：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力2maxπ2DMx2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力DMxπ32max3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。解：1．DDADMAxπ2d2∴2π82DMx即：2maxπ2DMx2．由课本（8－18）式DMDMhbMxxxπ3π32222max4－10矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。若已知T=400N·m，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。解：4.15105050208.04009221maxahbcMxMPa0.19103570246.04009221maxbhbcMxMPa4－11图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T=30N·m，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。解：63maxa106016πdMx4.2910π60300161060π163636aTdmm63b3b121maxa1060208.0dMdcMhbcMxxx9.28m02886.01060208.030036bdmm63c21maxc10602246.0300dhbcMx66.21m02166.01060246.0230036cdmm三者长度相同，重量之比即为面积之比。习题4-9图(a)(b)习题4-10图习题4-11图—73—习题4-12图021(a)816.0)02886.002942.0(4π4π22b2abaddAA724.0)02166.002942.0(8π)(8π24π22ca2c2acaddddAA∴724.0:816.0:1::cbaAAA4－12直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。解：设轴受T=73.6N·m时，相对扭转角为0且1p0ddGITx（1）T撤消后，管受相对扭转角2，则轴受相对扭转角201，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。021（2）2p1p1pGIlMGIlMGITlxx（3）xxMM（4）∴TIIIMxp21p2p（5）2p2p12p2pp2p12pmaxhDIITWTIITWMx（6）1212441p105.3834910)25(32π32πdI12124444p21039392210)755.72(13275π)2(132πDDDIm4将Ip1、Ip2值代入（6）得管：38.610)3939225.38349(102756.73123maxhMPa轴：86.21105.38349)3939225.38349(103939222256.732d)(2d1232p1p1p2p1pmaxsIIITIIMxMPa4－13由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力60maxaMPa，切变模量Ga=27GPa，钢的切变模量Gs=80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力maxs。解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同as（r=15mm）paamaxaWMaapaaa)(GrIMrrIGMapaaa∴rIGWapaapamaxa1332027156080)(amaxaspaapamaxasassspssmaxsRGrGIGrWGGGWMrMPa习题4-13图rR—74—(a)(b)(c)(d)习题4-19图l2xyd),(yxA),(yxA4－14若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是什么应力？答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。小圆方程为：222Ryx，R为小量小圆上一点),(yxA，当圆轴扭转时，A无水平位移，所以xx（平面假设）A垂直位移：Lxdv2)(Lxdyvyy2)(∴Lxdyy2)(将坐标代入：2222)()(RLxdyx0)4(22)4(2)()2(2))(41(2222222222RLdyLdxLdyyxLxL二次项系数：012241222LLL，所以为椭圆型方程。4－15关于弯曲切应力公式)/(*QzzbISF应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正确的。（A）细长梁、横截面保持平面；（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；（C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；（D）弹性范围加载，横截面保持平面。正确答案是B。解：公式)(*QzzbISF推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力x则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在0xF时，应用了沿截面宽度均匀分布假设。4－16试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是：（A）横截面保持平面；（B）不发生扭转；（C）切应力公式应用条件；（D）切应力互等定理。正确答案是D。4－17槽形截面悬臂梁加载如图示。图中C为形心，O为弯曲中心。并于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。（A）只有向下的移动，没有转动；（B）只绕点C顺时针方向转动；（C）向下移动且绕点O逆时针方向转动；（D）向下移动且绕点O顺时针方向转动。正确答案是D。4－18等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关天截面A的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。（A）下移且绕点O转动；（B）下移且绕点C转动；（C）下移且绕z轴转动；（D）下移且绕z轴转动。正确答案是D。4－19试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。正确答案是A。习题4-17图习题4-18图—75—习题4-20图习题4-21图120120(kN)yQFyzcdbaAFRCzycbaC习题4-22图4－20四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O为弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用zzxIyM/和)/(*QzzbISF计算横截面上的正应力和切应力。（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。正确答案