5.2-中心极限定理

中心极限定理电子科技大学§5.2中心极限定理一.中心极限定理的定义与意义引例：高尔顿钉板试验定义5.2.1设随机变量X,X1,X2,…的分布函数分别为F(x),F1(x),F2(x),…,若极限式)()(limxFxFnn在F(x)的每一个连续点上都成立，称随机变量序列{Xk},k=1,2,…依分布收敛于X.中心极限定理电子科技大学XXLn记为定义5.2.2（中心极限定理）设随机变量{Xk}，k=1,2,…相互独立，有有限数学期望和方差.若随机变量序列标准化nkknkknkknXDXEXY111)()(对y∈R一致地有中心极限定理电子科技大学)(21}{lim221zdyezYPzynn称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.nkkX1注1随机变量序列{Xk}服从中心极限定理，指其前n项和的标准化随机变量依分布收敛于标准正态分布随机变量X；注2解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布；中心极限定理电子科技大学若随机变量序列{Xk}，k=1,2,…服从中心极限定理，有)1,0(~)()(111NXLXDXEXnkknkknkknas故当n足够大时，可以认为中心极限定理电子科技大学)1,0(~)()(111NXDXEXnkknkknkk近似成立，或nkknkknkkXDXENX111)(,)(~近似成立.许多相互独立的微小因素Xk的叠加总和.中心极限定理电子科技大学注3给出了概率的近似计算公式.若随机变量序列{Xk}，k=1,2,…服从中心极限定理，则有)()()()(1221111xxxXDXEXxPnkknkknkk中心极限定理电子科技大学定理5.2.1（林德伯格—列维定理或独立同分布中心极限定理）二.中心极限定理设{Xk},k=1,2…为相互独立,具有相同分布的随机变量序列,且E(Xk)=m,D(Xk)=s2,则{Xk}满足中心极限定理，即有)(lim1xΦxnnXPnkknsm中心极限定理电子科技大学装车问题重复试验次数估计报亭售报问题高尔顿钉板试验定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量序列{Yn}，Yn~B(n,p)，n=1,2…，对于任意的实数x，有)()1(limxΦxpnpnpYPnn中心极限定理电子科技大学证明对于任意正整数n，随机变量Yn可表示为Yn=X1＋X2＋…＋Xn其中Xi~B(1,p)，相互独立，并且E(Xi)=p,D(Xi)=p(1－p)相互独立同分布的随机变量序列{Xi},i=1,2,…满足中心极限定理.即有xpnpnpYPnn)1(lim中心极限定理电子科技大学)()()(lim111xΦxXDXEXPnkknkknkkn结论成立.若X~B(n,p)，对于足够大的n，有}{21mXmP)1()1()1(21pnpnpmpnpnpXpnpnpmP标准化中心极限定理电子科技大学)1()1(12pnpnpmΦpnpnpmΦ航船的稳定性≈产品抽检件数中心极限定理应用实例中心极限定理电子科技大学将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以的概率向左或向右移动一格.21例5.2.1随机游动(高尔顿钉板试验)中心极限定理电子科技大学.1;,1层向左位移一格在第，层向右位移一格在第令kkXk－11Xk2/12/1P{Xk=i}{Xk,k∈N+}是相互独立同分布随机变量序列，令有nkknXY0,小球在第n次碰撞后所处位置试验演示中心极限定理电子科技大学,0][][1nknnXEYE均值为,)()][1nkknnXDYD方差为nas)(}{yynYPn,2,1,*nnYYnn即依分布收敛于标准正态分布随机变量.由林德伯格—列维定理有中心极限定理电子科技大学例5.2.2将一枚均匀硬币连续抛n次，试用中心极定理来估计n，使下式成立.99.0}01.0|)()({|APAfPn其中A={出现正面}解有P(A)=1/2，令),2,1(,,0;,1niiXi否则次出现正面第则随机变量序列{Xi}，i=1,2,…是相互独立且同分布的.而且有中心极限定理电子科技大学,2,1,41)(,21)(iXDXEii所以随机变量序列{Xi}，满足独立同分布中心极限定律.由题意可得有,1)(1XnAfniin}01.0|)()({|99.0APAfPn01.021101.0211niiXnP中心极限定理电子科技大学nnXnnPnii01.0201.021}2/101.02/122/101.0{1nnnnXnnPnii分布，近似服从因为)1,0(2/121NnnXnii中心极限定理电子科技大学}2/101.02/122/101.0{99.01nnnnXnnPnii所以1)02.0(2nΦ995.0)02.0(nΦ58.202.0n解得n≥16,641(次)(250,000次)中心极限定理电子科技大学例5.2.3一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.解设Xi，i=1,2,…,n是装运的第i箱重量(单位:千克),n是所求箱数.n箱的总重量为中心极限定理电子科技大学可将Xi，i=1,2,…,n视为独立同分布的随机变量.,5)(,50)(iiXDXE):(,5)(,50)(千克单位nTDnTEnn由林德伯格—列维定理知，Tn近似服从正态分布.)25,50(nnNnnXXXT21中心极限定理电子科技大学),2(77.9)101000(nn故,2101000nn解得,0199.98n即一辆车最多可以装98箱.}5505000550{}5000{nnnnTPTPnn中心极限定理电子科技大学例5.2.4路边有一个售报亭,每个过路人在报亭买报的概率是1/3,求:正好售出100份报纸时的过路人数在280到300之间的概率。解设X是正好售出100份报纸时的过路人数,Xi是售出第i1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,则1001iiXX中心极限定理电子科技大学并且随机变量X1,X2,···,X100独立同分布,具有分布律:因i=1,2,···,100;,2,1,)32(31}{1kkXPki6)31(32)(,3311)(2iiXDXE根据林德伯格—列维定理,所求概率中心极限定理电子科技大学}300280{1001iiXP)8165.0()0()8165.0(15.0293.0中心极限定理电子科技大学例5.2.5一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率为p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29600~30500次纵摇角大于3°的概率是多少？解假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，记X为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数，故有中心极限定理电子科技大学31,90000),31,90000(~pnBX由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,所求事件的概率}3050029500{XP)1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP中心极限定理电子科技大学)1(29500)1(30500pnpnpΦpnpnpΦ225225ΦΦ995.012252Φ中心极限定理电子科技大学例5.2.6随机抽查验收产品,如果在一批产品中查出10个以上的次品,则拒绝接收.问至少检查多少个产品,能保证次品率为10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9解设检查的产品数为n,查出的次品数为X,则X~B(n,0.1),按题意,有P{10＜X≤n}≥0.9由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,有中心极限定理电子科技大学P{10＜X≤n})9.01.01.010()9.01.01.0(nnnnn)3.01.010()3(nnn于是)3.01.010(1}10{nnnXP)3.0101.0(nn中心极限定理电子科技大学故求解得n≥146.8或n≤－68.3，所以至少取n=147能够保证要求.9.0)3.0101.0(nn28.13.0101.0nn中心极限定理电子科技大学应用范例在计算机模拟试验中，常利用12个相互独立同分布，都在（0，1）上服从均匀分布的随机变量X1,X2,…,X12之和的标准化随机变量61212]6[121121iiiiXXY作为标准正态分布的随机变量.根据林德伯格—列维定理,Y应近似服从标准正态分布.中心极限定理电子科技大学事实上二者的概率密度几乎无区别.例如X1,X2,X3相互独立，都在(0，1)上均匀分布，则S3=X1+X2+X3的概率密度为.,0);3,2[,2)3();2,1[,233);1,0(,2)(222其他xxxxxxxxf中心极限定理电子科技大学将S3标准化：324/12/333SS其概率密度为：)23(21)(xfxg)(x)(xg