搜索
1工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第11章)范钦珊唐静静2006-12-1822第11章压杆的稳定性问题11－1关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后，还能不能继续承载有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。（A）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加；（B）能。因为压杆一直到折断时为止都有承载能力；（C）能。只要横截面上的最大正应力不超过比例极限；正确答案是C。（D）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。11－2今有两根材料、横截面尺寸及支承情况均相同的压杆．仅知长压杆的长度是短压杆的长度的两倍。试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的4倍?为什么?解：只有当二压杆的柔度λ≥λ时，才有题中结论。这是因为，欧拉公式F=πEI，只有在弹性范围才成立。这便要求Pλ≥λP。Pcr(μl)211－3图示四根压杆的材料及横截面(直径为d的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。习题11－3解：计算各杆之柔度：λ=μl，各杆之i相同i333（a）λa=5li(μ=1)（b）λb（c）λ=4.9li=4.5l(μ=0.7)(μ=0.5)c（d）λdi=4li(μ=2)可见λaλbλcλd，故（a）最容易失稳，（d）最不容易失稳。11－4三根圆截面压杆的直径均为d=160mm，材料均为A3钢，E＝200GPa，σs＝240MPa。已知杆的两端均为铰支，长度分别为l1、l2及l3，且l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临界力。解：i=d/4=160/4=40mm，μ=1λ=μl11i=5×1040=1.253λ=μl22iμlλ=33i=2.5×1040=1.25×1040=62.5=31.5对于A3钢，λP=102,λs=61.6。因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，第三杆为小柔度杆。于是，第一杆的临界力F=σA=π2Eπd2π3×200×106=×1602×10−6=2540kNPcrcrλ241252×4第二杆的临界力F=(a−bλ)A=(304−1.12×62.5)×103×π×1602×10−6=4705kNPcr4第三杆的临界力F=σA=240×103π3×1602×10−6=4825kNPcrs4411－5图示a、b、c、d四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力FPmax有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。（A）FPmax(a)=FPmax(c)FPmax(b)=FPmax(d)；（B）FPmax(a)=FPmax(c)=FPmax(b)=FPmax(d)；（C）FPmax(a)=FPmax(d)FPmax(b)=FPmax(c)；正确答案是A。习题11－5图FPmax(a)=FPmax(b)FPmax(c)=FPmax(d)。（D）解：各杆内力如习题11-5解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A）。FP0FP-FPFP0FP-FP−2FPFP00FP2FP0FPFP−2FP02FP00-FP-FP习题11-5解图11－6提高钢制细长压杆承载能力有如下方法．试判断哪一种是最正确的。（A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿横截面两形心主轴方向的长细比相等；（B）增加横截面面积，减小杆长；（C）增加惯性矩，减小杆长；（D）采用高强度钢。π2EI正确答案是A。解：由细长杆临界力公式：FPcr=min中各量可知；另外各种钢的弹性模量E值(μl)2差别不大。正确答案是A。σA[]crPw11－7根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷[F]=cr。当横截面面积A增加一倍P[n]st时，试分析压杆的许可载荷将按下列四种规律中的哪一种变化？（A）增加1倍；（B）增加2倍；（C）增加l／2倍；（D）压杆的许可载荷随着A的增加呈非线性变化。正确答案是D。解：由于i=I，长细比λ=μl，而临界应力σAicrπ2E=或σcrλ2=a−bλ所以，σ−A不存在线性关系，[F]=σcrnstA与面积A之间为非线性关系。所以，正确答案是D。11－8已知图示液压千斤顶顶杆最大承重量FP＝167kN，顶杆直径d＝52mm，长度l＝0.5m，材料为Q235钢，顶杆的下端为固定端约束，上端可视为自由端。试求：顶杆的工作安全因数。解：1．判断压杆的类型λ=μl=μl=4×2×0.5=76.9属于中长杆id452×10−42．计算临界力FPcr＝σcrA=(a−bλ)πd24-32π×(52×10)=(304−76.9×1.12)×106×4=462.7×103N=462.7kN3．确定工作安全因数习题11－8图n=FPcr=462.7=2.77FP16711－9图示托架中杆AB的直径d＝40mm。长度l＝800mm。两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢。试：1．求托架的临界载荷。5习题11－9图6P2．若已知工作载荷FP＝70kN，并要求杆AB的稳定安全因数[n]st=2.0，校核托架是否安全。3．若横梁为No.18普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa，则托架所能承受的最大载荷有没有变化？解：1．求托架的临界载荷①（图（a））sinθ=74CBDθFAB∑MC=0，900FP=600FABsinθFP(a)F=2FP3ABsinθ=76FAB（1）②i=d=10mm4λ=μli=1×80010=80λP，中长杆σcr=304−1.14λ=304−1.14×80=212.8MPaFABcr=σcr⋅A=σcr⋅πd24=212.8×π×(40×10−3)24=0.2674MN=267.4kNFPcr=7×267.4kN=118kN62．校核托架是否安全当已知工作载荷为70kN时由（1），FAB=267.46F=158.7kN7nw==1.685[n]，不安全。158.7st3．横梁为No.18普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa，计算托架所能承受的最大载荷条件[σ]=160MPa意谓着既要保证CD强度，又要保证AB杆稳定。CD梁中：Mmax=MB=0.3FP，7NxABP，F=Fcosθ=3cotθ⋅F2FQ=FPσ=MB+FNx≤[σ]maxWA，0.3FP185×10−83cotθ⋅F+2P30.6×10−4≤160×106，FP≤73.5kNFPcr=118kN所以，托架所能承受的最大载荷为73.5kN。11－10长l＝50mm，直径d＝6mm的40Cr钢制微型圆轴，在温度为t1＝－60ºC时安装，这时轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷，温度升高时，轴和架身将同时因热膨－6－6胀而伸长。轴材料的线膨胀系数α1＝125×10/°C；架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10/°C。40Cr钢的σp＝300MPa，E＝210GPa。若规定轴的稳定工作安全因数[n]st＝2.0，并且忽略架身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到t2＝60ºC时，该轴是否安全。习题11－10图解：温升时，α1α2使轴受压力FN。这是轴向载荷作用下的静不定问题。变形谐调条件为：α1(t2−t1)l−FNlEA=α2(t2−t1)l由此解出轴所受的轴向载荷为：FN=(α1−α2)(t2−t1)EA弹性屈曲范围的长细比的低限λP=2π2E=σp2π2×210×109300=838π根据支承条件以及轴的几何尺寸，计算轴的长细比i=d=6=1.5mm44μ=1λ=μl=1×150=100λ属细长杆i1.5P采用，欧拉公式计算临界力FPcr=σcrA=π2Eλ2轴的工作安全因数n=FPcr=π2EAwFλ2(α−α)(t−t)EAN12212==1.645[n]=21002×0.5×10−5×120st所以，轴不安全。11－11图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40mm，a＝1m。材料均为Q235钢，E＝200GPa，[n]st＝1.8。试；l．求结构的许可载荷；习题11－11图2．若FP力的方向与1中相反，问：许可载荷是否改变，若有改变应为多少？解：1．（1）由静力平衡得到：F=F=F=F=2F（压）ABADBCCD2PFDB=FP（拉）（2）对于拉杆BC，由强度条件，有πd2πFP=FBD=[σ]A=160×106×4=160××402=201kN4对于AB等压杆，需进行稳定计算：λ=μl=1×1000=100λ=101i40p4则9[][][][][]yFABcr=(a−bλ)A=(304−1.14×100)×π×402×10−6=0.2387MN=238.7kN4FPcr=2FAB=2×238.7kN=337.6kN[F]=FPcrPnst=337.61.8=187.6kN2．若FP向外，则F=F=F=F=2FABADBCCD2P（拉）FBD=FP（压）由于此时受压杆BD比前一种情况长，所以只要进行稳定计算：λ=μl=1×2×1000=141.4λ=100i10p采用欧拉公式计算临界力F=FPcr=FBDcr[P]nnstst2=σBDcrA=1×πE×π×402×10−6=68.9nnstst3λ24=1×πE×1×402×10−61.8141.424=68.9×10−3MN=68.9kN*11－12图示结构中，梁与柱的材料均为Q235钢E＝200Gpa，σs＝240MPa。均匀分布载荷集度q=24kN/m。竖杆为两根63mm×63mm×5mm等边角钢(连结成一整体)。试确定梁与柱的工作安全因数。解：1．查型钢表得No.16aI：Iz=1130cm4，Wz=141cm32No.63×63×5：A=2×6.143=12.286cm2习题11－12图iy=1.94cmI=2×23.17=46.34cm42．梁为静不定问题，由变形谐调条件，得：10max3W3FN5ql4−FNl=FNl384EIz48EIz2EA5ql3Fl2−N=IzF（1）384482ANFN=5ql3=25×24×1032×43−8=59.18kN3．梁AB：384(l48+Iz)2A384(4+481130×10)2×12.286×10−4∑Fy=0，2FA+FN=4q梁的支反力：FB=FA=(4×24−59.18)/2=18.41kN（↑）M=F×2−1q×22=18.41×2−1×24×4=−11.18kN·mCA22梁内最大弯矩值：FQ=FA−qx=0，18.41−24x=0，x=0.767mMmax=18.41×0.767−1×24×0.7672=7.0625kN·m2|M|max=|MC|=11.18kN·m梁内最大正应力：|M|11.18×103σ==79.29MPamaxz梁的安全系数：=141×10−64．柱CD：n=σsσmax=24079.29=3.03λ=μl=1×200=103100iπ2E1.94π2×200×103MPaσcr=λ2=1032=186MPaFPcr=σcrA=186×10×12.286×10−4=228.5kNn=FPcr=228.5=2.31st98.63*11－13图示工字钢直杆在温度t1＝20ºC时安装，此时杆不受力。已知杆长l=6mm，材料为Q235钢，E＝200GPa。试问：当温度升高到多少度时，杆将屈曲（材料的线膨胀系11数α＝12.5×10－6/°C）。习题11－13图解：查型钢表No.20aI的imin=2.12cmλ=μl=0.5×600=141.5，为细长杆iσcr=π2Eλ22.12当温升Δt°时，杆中应力σt=αEΔt°=σcrαEΔt°=π2Eλ2Δt°=π2EαEλ2π2=αλ2π2=12.5×10−6×141.52=39.43°即温度升高39.43°C时杆将失稳，亦即温度升高到49.43°C时失稳。上一章返回总目录下一章