无套利定价原理

《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20062第第22章章无套利定价原理无套利定价原理11..什么是套利？什么是套利？¾¾商业贸易中的商业贸易中的””套利套利””行为？行为？例如例如11：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进1010吨铜合同的同时，与需求商吨铜合同的同时，与需求商乙乙签订一笔卖出签订一笔卖出1010吨铜合同：吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以即贸易公司与生产商甲约定以15,00015,000元元//吨的价格从甲那里吨的价格从甲那里买进买进1010吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的1010吨铜以吨铜以17,00017,000元元//吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，11吨铜赚取差价吨铜赚取差价2,0002,000元元//吨。吨。这是套利行为吗？这是套利行为吗？《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20063金融市场中的套利行为金融市场中的套利行为¾¾金融市场的独特性使得影响套利的这些金融市场的独特性使得影响套利的这些条件大大地减弱。条件大大地减弱。¾¾（（11）专业化交易市场）专业化交易市场¾¾（（22）电子化、无形化、数字化）电子化、无形化、数字化¾¾（（33）卖空机制可能大大增加了套利机会）卖空机制可能大大增加了套利机会¾¾（（44）在时间和空间上的多样性也使得套）在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷利更为便捷《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20064金牛能源与转债之间套利的例子金牛能源与转债之间套利的例子《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20065转股价转股价10.8110.81元，元，100100元转元转9.25079.2507股股,,134.6134.6元元《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20069无风险套利的定义无风险套利的定义¾¾在金融理论中，套利指一个能产生无风险在金融理论中，套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。略，即可能会承担一定的低风险。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200610无套利定价原理无套利定价原理¾¾金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。的均衡中。¾¾因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是不存在无风险套利机会，这就是““无风险套利定价无风险套利定价””原理或者简称为原理或者简称为““无套利定价无套利定价””原理。原理。¾¾什么情况下市场不存在套利机会呢？我们先看一什么情况下市场不存在套利机会呢？我们先看一下无风险套利机会存在的等价条件：下无风险套利机会存在的等价条件：《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200611无风险套利机会存在的等价条件无风险套利机会存在的等价条件¾¾（（11）存在两个不同的资产组合，它们的）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（未来损益（payoffpayoff））相同，但它们的成相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。损益指在相同状态下现金流是一样的。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200612¾¾（（22）存在两个相同成本的资产组合，但）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。益要大于第二个组合的损益。¾¾（（33）一个组合其构建的成本为零，但在）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。状态下这个组合的损益要大于零。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200613无套利机会的等价性推论无套利机会的等价性推论¾¾（（11）同损益同价格：如果两种证券具有相）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。同的损益，则这两种证券具有相同的价格。¾¾（（22）静态组合复制定价：如果一个资产组）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的合称为证券的““复制组合复制组合””（（replicatingreplicatingportfolioportfolio）。）。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200614¾¾（（33））动态组合复制定价：如果一个自融动态组合复制定价：如果一个自融资（资（selfself--financingfinancing））交易策略最后具有交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（动态套期保值策略（dynamichedgingdynamichedgingstrategystrategy）。）。所谓自融资交易策略简单地所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。一个不是另外增加现金投入或现金取出。一个简单的例子就是购买并持有简单的例子就是购买并持有((buyandbuyandhold)hold)策略。策略。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200615确定状态下无套利定价原理的应用确定状态下无套利定价原理的应用¾¾11、同损益同价格、同损益同价格（例子（例子22））¾¾假设两个零息票债券假设两个零息票债券AA和和BB，，两者都是在两者都是在11年后的年后的同一天到期，其面值为同一天到期，其面值为100100元（到期时都获得元（到期时都获得100100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券券AA的当前价格为的当前价格为9898元，并假设不考虑交易成本元，并假设不考虑交易成本和违约情况。和违约情况。¾¾问题：（问题：（11）债券）债券BB的当前价格应该为多少呢？的当前价格应该为多少呢？¾¾（（22）如果债券）如果债券BB的当前价格只有的当前价格只有97.597.5元，元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？问是否存在套利机会？如果有，如何套利？《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200616¾¾（（11）按照无套利定价原理，债券）按照无套利定价原理，债券BB与债券与债券AA具有一具有一样的损益（现金流），所以债券样的损益（现金流），所以债券BB的合理价格也应的合理价格也应该为该为9898元。元。¾¾（（22）当债券）当债券BB的价格为的价格为97.597.5元时，说明债券元时，说明债券BB的价的价值被市场低估了。那么债券值被市场低估了。那么债券BB与债券与债券AA之间存在套之间存在套利机会。利机会。¾¾实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产--债债券券BB，，卖出价值高估的资产卖出价值高估的资产--债券债券AA。。所以，套利的所以，套利的策略就是：卖空债券策略就是：卖空债券AA，，获得获得9898元，用其中的元，用其中的97.597.5元买进债券元买进债券BB，，这样套利的盈利为这样套利的盈利为0.50.5元。因为，元。因为，在在11年后到期日，债券年后到期日，债券BB的面值刚好用于支付卖空的面值刚好用于支付卖空债券债券AA的面值。的面值。《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,20061722、静态组合复制定价（例子、静态组合复制定价（例子33））¾¾假设假设33种零息票的债券面值都为种零息票的债券面值都为100100元，它们的当前市场元，它们的当前市场价格分别为：价格分别为：¾¾①①11年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9898元；元；¾¾②②22年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9696元；元；¾¾③③33年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9393元；元；¾¾并假设不考虑交易成本和违约。并假设不考虑交易成本和违约。¾¾问题：（问题：（11）如果息票率为）如果息票率为1010％，％，11年支付年支付11次利息的三次利息的三年后到期的债券年后到期的债券AA的当前价格应该为多少？的当前价格应该为多少？¾¾（（22）如果息票率为）如果息票率为1010％，％，11年支付年支付11次利息的三次利息的三年后到期的债券年后到期的债券AA的当前价格为的当前价格为120120元，问是否存在套利元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？机会？如果有，如何套利？《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200618¾¾对于第一个问题，我们只要按照无套利对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（定价原理的推论（22），去构造一个），去构造一个““复复制组合制组合””就可以了。先看一个息票率为就可以了。先看一个息票率为1010％，％，11年支付年支付11次利息的三年后到期的债次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为券的损益情况。面值为100100元，息票率为元，息票率为1010％，所以在第％，所以在第11年末、第年末、第22年末和第年末和第33年年末的利息为末的利息为100100××1010％＝％＝1010元，在第元，在第33年年末另外还支付本金面值末另外还支付本金面值100100元。如图所示：元。如图所示：1年末2年末3年末1010110《金融工程》讲义，吴冲锋、吴文锋等,200619¾¾构造相同损益的复制组合为：构造相同损益的复制组合为：¾¾（（11）购买）购买0.10.1张的张的11年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券，其损益刚好为好为100100××0.10.1＝＝1010元；元；¾¾（（22）购买）购买0.10.1张的张的22年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券，其损益刚好为好为100100××0.10.1＝＝1010元；元；¾¾（（33）购买）购买1.11.1张的张的33年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券，其损益刚好为好为100100××1.11.1＝＝110110元；元；¾¾所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（因此根据无套利定价原理的推论（22），具有相同损益），具有相同损益情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率情况下证券的价格就是