期权和期权定价

第八章期权和期权定价本章主要讨论期权和期权的定价问题.主要包括：不支付红利的欧式看涨和看跌期权的平价关系；不支付红利的美式看涨和看跌期权的价格关系；欧式和美式期权之间的关系；用二叉树模型对离散状况的期权定价(单期、二期及N期)；用B-S公式对连续状况的期权定价。一、基本概念1.看涨多头：支付期权费，到期享有买入的权利；2.看涨空头：获得期权费，到期享有卖出的义务；3.看跌多头：支付期权费，到期享有卖出的权利；4.看跌空头：获得期权费，到期享有买入的义务。5.期权费(期权价格)：,;,.EAEACCPP定理（P129.看跌期权—看涨期权平价）对于不支付红利的股票，如下的欧式看涨期权和看跌期权价格之间的关系式成立：rTEEXeSPC0假设这两个期权的施权价都是X；施权日都是T。二.欧式看跌期权—看涨期权平价关系定理应用：假设股票不支付红利，以每股15.6美元交易；在3个月后施权的施权价为15美元的看涨期权以2.83美元交易。连续复合利率为6.72%。则具有相同施权价和施权日的看跌期权的价格为________.(列出表达式)证明假设rTEEXeSPC0可以构造如下的套利策略:在时间0●以价格0S买入1股股票；●以价格EP买入一份看跌期权，支付EP；●以价格EC卖出一份看涨期权，获得EC；●以利率r借入金额0EESPC。此时V(0)=0.在时间T●以价格X卖出股票，当STX时，行使看跌期权；当XTS时，结清看涨期权空头头寸；●归还贷款本息和((0))EErTSPCe。此时余额为((0))[(0)]0.EErTrTEErTXSPCeeCPSXe与无套利原则矛盾。思考：若(0)EErTCPSXe，如何套利？作业:施权价为24美元；6个月以后施权的欧式看涨期权和看跌期权以5.13美元和7.86美元交易；标的股票价格为20.14美元；利率为7.48%,计算套利机会。－＝由一份看涨期权多头和一份看跌期权空头构成的一份远期多头的回报根据看涨期权和看跌期权构成的远期多头的回报，可以把看跌期权—看涨期权平价写成如下形式：0XEEVPC，00rTXVSXe式中，0XV为远期合约多头的价值。如果X等于资产的远期理论价格rTeS0,那么远期合约的价值为零，即00XV，于是EEPC.如果股票在时间0和时间T之间支付红利，那么rTXXedivSV000,这里0div是红利的现值，由此可以得出rTEEXedivSPC00如果红利是以支付率divr连续支付，那么eTTrXXeeSVDIV00,于是rTTrEEXeeSPCdiv0二.美式看跌期权—看涨期权平价关估计定理（P131.看跌期权—看涨期权平价估计）具有相同的施权价X和相同的施权日T不支付红利的美式股票看跌期权和看涨期权的价格满足00rTAASXeCPSX三.期权价格的边界欧式期权与美式期权价格的关系对于具有相同施权价X和到期时间T的欧式期权和美式期权有0,0EAEACCPP因为美式期权至少给出了与欧式期权同样的权利。下图显示的是股票价格状况，在这个状况下，在时间T施权，欧式看涨期权的回报是零，而美式期权在股票价格高于X时的时间tT执行，回报是正的。四.不支付红利的股票的欧式和美式看涨期权定理(P135)当两个期权的施权价X和到期时间T相同时，不支付红利的股票的欧式看涨期权和美式看涨期权的价格是相等的，即AECC.小结：1.基本概念；2.欧式看涨-看跌之间的平价关系(定理条件，结论)；3.美式看涨-看跌之间的价格关系(定理条件，结论)；4.欧式和美式之间的关系(一般情况、无红利支付)期权定价引例：投资者A在时间0买入一份欧式看涨期权(标的物为股票),施权价X=100元，在时间1施权。若在时间1，该股票的价格为1.不考虑期权费时回报如何？2.考虑期权费时，期权费应定为多少是合理的？120(1)S，如果股票上涨80，如果股票下跌，200(1)C，如果股票上涨，如果股票下跌，(两种方法计算：一是复制、定价；二是直接运用风险中性概率和期望)以引例为例：step1.复制构造x股股票、y份债券的投资，使得在时间1,不论股票价格上涨到120美元还是下跌到120美元，资产组合与期权具有同样的价值。即12011020801100xyxy14,.211xy定理8.1假设对任意未定权益()DT存在一个可允许的复制策略()xt,()yt,其价值TDTV，那么未定权益在时间0的价值一定等于复制策略在时间0的价值，即00DV。8.1二叉树模型中的欧式期权以引例为例：step1.复制构造x股股票、y份债券的投资，使得在时间1,不论股票价格上涨到120美元还是下跌到120美元，资产组合与期权具有同样的价值。即解得12011020801100xyxy8.1.1单期二叉树模型14,.211xy8.1.1单期二叉树模型假设在时间1随机的股票价格S(1)取两个值，表示如下：(0)(1)(1)(0)(1)1uuSSupSSSdp为复制回报为f的一般衍生证券，我们需要对()xt,()yt求解方程组对()xt,()yt求解方程组(1)(1)(1)()(1)(1)(1)()uuddxSyrfSxSyrfS于是有()()(1)ududfSfSxSS(1)x是股票的复制头寸，称为期权的。再求出货币市场头寸，即(1)()(1)()(1)()(1)uddfSufSyudr该复制资产组合的初始值为101ySx，根据定理8.1，有(0)(1)(0)(1)()()(1)()(1)()()(1)ududDxSyfSfSdfSufSududr由第3章风险中型概率知，对于给出的风险中性概率*rdpud可以将股票价格折现过程(1)()nrSn转变为鞅。定理8.2折现回报对风险中性概率的期望等于未定权益的现值，即1*(0)[(1)((1))]DErfSP150练习8.3.8.1.2两期二叉树模型股票S（1）有两个可能值，(0)(1),(0)(1)udSSuSSd股票S（2）有三个可能值，22(0)(1),(0)(1)(1),(0)(1)uuudddSSuSSudSSd1+u1+d(1+u)2(1+u)(1+d)(1+d)21uduuudddS(1)利用我们描述的复制方法。在时间2，衍生证券可以被它的回报复制，即(2)((2))DfS有三个可能值。衍生证券的(1)D有两个值，****1[()(1)()]11[()(1)()]1uuudduddpfSpfSrpfSpfSr这是将单期的方法应用于节点为u和d的两个子树得出的uduuudddD(1)定理8.3对风险中性概率计算的折现回报的期望值等于衍生证券的现值，即2*(3)((1)((2)))DErfS一般地，在N期模型中，**01(0)(1)((0)(1)(1))(1)NkNKkNkNkNDppfSudkr在风险中性概率下，(())fSN的期望值可由上式计算出，其结果可以概括为如下定理。定理8.4在N期二叉树模型中，具有回报(())fSN的欧式衍生证券价值是折现回报在风险中性概率之下的期望值，即)))((()1(()0(*NSfrEDN8.2在二叉树模型中的美式期权用公式表示美式未定权益价格存在一定困难，在此只能给出简单的非正规描述.假设：期权可以在满足条件0nN的时段n施权一次，其回报为(())fSn。美式期权在时间n的价格用()ADn表示。我们分析两个时段的美式期权，在到期时它的价值为))2(()2(SfDA8.3布莱克—斯科尔斯公式本节主要论述关于连续时间看涨期权和看跌期权的著名的布莱克—斯科尔斯公式。对连续时间的论述不追求数字上的严谨，严格的数学证明需要随机分析的有关内容，在此将利用与离散时间的类比替代严格的数学证明。在第三章中研究了连续时间股票价格模型为)()0()(tWmteStS，式中()Wt是标准的维纳过程，()St服从对数正态分布。对比回报为))((TSf，在时间T到期的欧式期权在离散时间的情况。期权在时间0的价格0D应当等于折现回报))((TSferT的期望，即*0((()))rTDEefST，在风险中性概率*P下，折现价格过程()rteSt是鞅。因为()Wt服从均值为零，方差为t的正态分布，密度函数为txet2221，因此2()()()2(())(0)()1(0)2rtWtmrtxxmrttEeStSEeSeedxt22222()1()2211()()2221(0)21(0)(0)2xtmrttymrtmrttSeedxtSeedySet概率P下的期望()rteSt21()2(())(0)mrtrtEeStSe若212mr,则期望trmrteStSeE)21(2)0())((依赖与t,于是()St在P之下不可能是鞅。定理（布莱克—斯科尔斯公式）到期时间为T，施权价为X的欧式看涨期权在时间0的价格是12(0)(0)()()ErTCSNdXeNd式中2122(0)1ln()2,(0)1ln()2SrTXdTSrTXdT布莱克—斯科尔斯公式12(0)(0)()()ErTCSNdXeNd布莱克公式与考克斯公式比较考克斯-罗斯-鲁宾斯坦公式*(0)(0)[1(1,,)](1)[1(1,,)]ENCSmNqrXmNp0(,,)(1)mkNKkNmNpppkxxyydyedyexN22222121)(中心极限定理