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—期权定价林忠国Email:lzg2011@tju.edu.cn天津大学管理与经济学部林忠国(天津大学)金融工程—第14章1/51目录1期权的二叉树定价：两期模型的情况2期权的二叉树定价：多期模型的情况3条件期望与鞅4股票价格运动的规律5远期和期货的定价林忠国(天津大学)金融工程—第14章2/511期权的二叉树定价：两期模型的情况2期权的二叉树定价：多期模型的情况3条件期望与鞅4股票价格运动的规律5远期和期货的定价林忠国(天津大学)金融工程—第14章3/51两期模型考虑一个以股票为标的资产的期权，假定标的股票的价格变化遵循下图所示：𝑆0𝑆1(𝐻)=𝑢∙𝑆0𝑆1(𝑇)=𝑑∙𝑆0𝑝1−𝑝𝑡=0𝑡=1看涨期权在到期日(𝑡=1)的价值𝑉1={︃𝑉1(𝐻)≡max(𝑆1(𝐻)−𝑋,0)𝑉1(𝑇)≡max(𝑆1(𝑇)−𝑋,0)林忠国(天津大学)金融工程—第14章3/51两期模型Definition1.1(无风险套利)零初始财富损失的概率等于零获利的概率大于等于零Theorem1.2股票价格如果满足不存在无风险套利关系，则0𝑑1+𝑟𝑓𝑢林忠国(天津大学)金融工程—第14章4/51两期模型Theorem(1.2)的证明.充分性：𝑑0是因为股票价格为正。假设𝑑≥1+𝑟𝑓：投资者可以在𝑡=0时刻借入资金购买股票，在𝑡=1时刻，股票收益都能够偿还借款利息；假设𝑢≤1+𝑟𝑓：投资者可以在𝑡=0时刻卖空股票，将所得收益投资于货币市场，在𝑡=1时刻，货币市场投资都大于或等于偿还股票的花费。必要性：假设投资者初始财富为𝑋0，持有Δ0份股票，在𝑡=1时刻财富为𝑋1，则𝑋1=Δ0𝑆1+(𝑋0−Δ0𝑆0)(1+𝑟𝑓)。如果0𝑑1+𝑟𝑓𝑢，在忽略Δ0的情况下，令初始财富等于零，无法使𝑋1在正的概率下大于零，在零概率下小于等于零。林忠国(天津大学)金融工程—第14章5/51复制期权Example1.3复制期权令𝑆0=4，𝑢=2，𝑑=0.5，𝑟𝑓=0.25，期权的执行价格𝐾=5假设初始财富𝑋0=1.20，购买0.5份股票，需花费2，需要借入资金0.8，时刻1的财富𝑋1=0.5×𝑆1−0.8(1+0.25)在𝑡=1，如果股票价格为8，则期权的价值为3，𝑋1=3；如果股票价格为2，则期权的价值为0，𝑋1=0上述的投资组合(股票和无风险债券)完全复制了期权根据无套利原则，期权的当期价格(𝑡=0)应等于投资组合的价值复制期权所需要的初始财富𝑋0叫做期权在时刻0的无套利价格如果期权在时刻𝑡=0的价格为1.30，如何进行套利？如果价格为1.10呢？林忠国(天津大学)金融工程—第14章6/51期权定价：两期模型二项式期权定价的假设股票份数可以无限细分无风险借贷的利率相等股票的买价和卖价相等(没有买卖价差)在任何时刻，股价的可能性只有两种复制期权𝑋1=Δ0𝑆1+(𝑋0−Δ0𝑆0)(1+𝑟𝑓)=(1+𝑟𝑓)𝑋0+Δ0(𝑆1−(1+𝑟𝑓)𝑆0)𝑋0+Δ0(11+𝑟𝑓𝑆1(𝐻)−𝑆0)=11+𝑟𝑓𝑉1(𝐻)(1)𝑋0+Δ0(11+𝑟𝑓𝑆1(𝑇)−𝑆0)=11+𝑟𝑓𝑉1(𝑇)(2)林忠国(天津大学)金融工程—第14章7/51期权定价：两期模型选择̃︀𝑝，使得𝑆0=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑆1(𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑆1(𝑇))̃︀𝑝=(1+𝑟𝑓)−𝑑𝑢−𝑑,1−̃︀𝑝=𝑢−(1+𝑟𝑓)𝑢−𝑑方程(1)两边同乘以̃︀𝑝，方程(2)两边同乘以(1−̃︀𝑝)，然后相加Δ0=𝑉1(𝐻)−𝑉1(𝑇)𝑆1(𝐻)−𝑆1(𝑇)(delta-hedgingformula)𝑋0=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑉1(𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑉1(𝑇))=𝑉0(No-arbitragepricing)̃︀𝑝和(1−̃︀𝑝)均大于零，它们不是真实的概率𝑝和(1−𝑝)，对于真实的概率，在风险厌恶的假设下：𝑆11+𝑟𝑓(𝑝𝑆1(𝐻)+(1−𝑝)𝑆1(𝑇))林忠国(天津大学)金融工程—第14章8/51期权定价：两期模型Definition1.4(风险中性概率)(̃︀𝑝,1−̃︀𝑝)Definition1.5(风险中性定价)𝑉0=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑉1(𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑉1(𝑇))𝑆0=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑆1(𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑆1(𝑇))林忠国(天津大学)金融工程—第14章9/511期权的二叉树定价：两期模型的情况2期权的二叉树定价：多期模型的情况3条件期望与鞅4股票价格运动的规律5远期和期货的定价林忠国(天津大学)金融工程—第14章10/51多期模型𝑆0𝑆1(𝐻)=𝑢𝑆0𝑆1(𝑇)=𝑑𝑆0𝑆2(𝐻𝐻)=𝑢2𝑆0𝑆2(𝐻𝑇)=𝑆2(𝑇𝐻)=𝑢𝑑𝑆0𝑆2(𝑇𝑇)=𝑑2𝑆0𝑆3(𝐻𝐻𝐻)=𝑢3𝑆0𝑆3(𝐻𝐻𝑇)=𝑆3(𝐻𝑇𝐻)=𝑆3(𝑇𝐻𝐻)=𝑢2𝑑𝑆0𝑆3(𝐻𝑇𝑇)=𝑆3(𝑇𝐻𝑇)=𝑆3(𝑇𝑇𝐻)=𝑢𝑑2𝑆0𝑆3(𝑇𝑇𝑇)=𝑑3𝑆0林忠国(天津大学)金融工程—第14章10/51多期模型举例(𝑇=3)Example2.1𝑆0=4，𝑢=2，𝑑=12𝑆0=4𝑆1(𝐻)=8𝑆1(𝑇)=2𝑆2(𝐻𝐻)=16𝑆2(𝐻𝑇)=𝑆2(𝑇𝐻)=4𝑆2(𝑇𝑇)=1𝑆3(𝐻𝐻𝐻)=32𝑆3(𝐻𝐻𝑇)=𝑆3(𝐻𝑇𝐻)=𝑆3(𝑇𝐻𝐻)=8𝑆3(𝐻𝑇𝑇)=𝑆3(𝑇𝐻𝑇)=𝑆3(𝑇𝑇𝐻)=2𝑆3(𝑇𝑇𝑇)=.50林忠国(天津大学)金融工程—第14章11/51欧式期权定价(𝑇=2)欧式期权在𝑡=0时刻的无套利价格考虑一份欧式看涨期权(到期日执行)，到期时(𝑇=2)以𝐾的协议价格购买一股标的股票。在𝑡=2时刻，看涨期权的价值𝑉2=(𝑆2−𝐾)+，𝑉2和𝑆2依赖于第一次和第二次投掷的结果。在𝑡=0时刻，卖空期权，获得𝑉0。购买Δ0份股票，将(𝑉0−Δ0𝑆0)的资金投入货币市场。在𝑡=1时刻，股票和债券的组合价值：𝑋1=Δ0𝑆1+(1+𝑟𝑓)(𝑉0−Δ0𝑆0)𝑋1(𝐻)=Δ0𝑆1(𝐻)+(1+𝑟𝑓)(𝑉0−Δ0𝑆0)(3)𝑋1(𝑇)=Δ0𝑆1(𝑇)+(1+𝑟𝑓)(𝑉0−Δ0𝑆0)(4)林忠国(天津大学)金融工程—第14章12/51欧式期权定价(𝑇=2)(续)欧式期权在𝑡=0时刻的无套利价格第一次投掷后，投资者拥有的股票和债券的组合价值为𝑋1，并且需要调整他的头寸。在𝑡=1时刻，投资者持有Δ1份股票，Δ1依赖于第一次投掷的结果，将其余资金𝑋1−Δ1𝑆1投资于货币市场。在𝑡=2时刻，组合价值：𝑋2=Δ1𝑆2+(1+𝑟𝑓)(𝑋1−Δ1𝑆1)=𝑉2𝑉2(𝐻𝐻)=Δ1(𝐻)𝑆2(𝐻𝐻)+(1+𝑟𝑓)(𝑋1(𝐻)−Δ1(𝐻)𝑆1(𝐻))(5)𝑉2(𝐻𝑇)=Δ1(𝐻)𝑆2(𝐻𝑇)+(1+𝑟𝑓)(𝑋1(𝐻)−Δ1(𝐻)𝑆1(𝐻))(6)𝑉2(𝑇𝐻)=Δ1(𝑇)𝑆2(𝑇𝐻)+(1+𝑟𝑓)(𝑋1(𝑇)−Δ1(𝑇)𝑆1(𝑇))(7)𝑉2(𝑇𝑇)=Δ1(𝑇)𝑆2(𝑇𝑇)+(1+𝑟𝑓)(𝑋1(𝑇)−Δ1(𝑇)𝑆1(𝑇))(8)方程(3)–方程(8)共有6个未知数：𝑉0,Δ0,𝑋1(𝐻),Δ1(𝐻),𝑋1(𝑇),Δ1(𝑇)林忠国(天津大学)金融工程—第14章13/51欧式期权定价(𝑇=2)(续)欧式期权在𝑡=0时刻的无套利价格方程(7)-方程(8)；方程(7)乘以̃︀𝑝，方程(8)乘以1−̃︀𝑝，然后相加Δ1(𝑇)=𝑉2(𝑇𝐻)−𝑉2(𝑇𝑇)𝑆2(𝑇𝐻)−𝑆2(𝑇𝑇)𝑋1(𝑇)=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑉2(𝑇𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑉2(𝑇𝑇))采用相似的方法Δ1(𝐻)=𝑉2(𝐻𝐻)−𝑉2(𝐻𝑇)𝑆2(𝐻𝐻)−𝑆2(𝐻𝑇)𝑋1(𝐻)=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑉2(𝐻𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑉2(𝐻𝑇))林忠国(天津大学)金融工程—第14章14/51欧式期权定价(𝑇=2)(续)欧式期权在𝑡=0时刻的无套利价格Δ0=𝑋1(𝐻)−𝑋1(𝑇)𝑆1(𝐻)−𝑆1(𝑇)𝑉0=11+𝑟𝑓(̃︀𝑝𝑋1(𝐻)+(1−̃︀𝑝)𝑋1(𝑇))财富方程𝑋𝑛+1=Δ𝑛𝑆𝑛+1+(1+𝑟𝑓)(𝑋𝑛−Δ𝑛𝑆𝑛)返回林忠国(天津大学)金融工程—第14章15/51欧式期权定价Theorem2.2(多期二项式模型中的复制)考虑一个𝑁期的二项式资产定价模型，满足0𝑑1+𝑟𝑓𝑢，并且：̃︀𝑝=(1+𝑟𝑓)−𝑑𝑢−𝑑,̃︀𝑞=1−̃︀𝑝=𝑢−(1+𝑟𝑓)𝑢−𝑑令𝑉𝑁(衍生证券在时刻𝑁的支付)是依赖于前𝑁次投掷𝜔1𝜔2...𝜔𝑁的随机变量，由后向前定义随机变量𝑉𝑁−1,𝑉𝑁−2,...,𝑉0：𝑉𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)=11+𝑟𝑓[̃︀𝑝𝑉𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝐻)+̃︀𝑞𝑉𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝑇]使得任意𝑉𝑛依赖于前𝑛次投掷的结果。接着定义：Δ𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)=𝑉𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝐻)−𝑉𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝑇)𝑆𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝐻)−𝑆𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝑇)如果令𝑋0=𝑉0，并且从前至后通过财富方程定义组合价值𝑋1,𝑋2,...,𝑋𝑁，则：𝑋𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)=𝑉𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)forall𝜔1𝜔2...𝜔𝑛,𝑛=0,1,2,...,𝑁林忠国(天津大学)金融工程—第14章16/51欧式期权定价Theorem2.2证明.𝑋𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)=𝑉𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)forall𝜔1𝜔2...𝜔𝑛,𝑛=0,1,2,...,𝑁(1)根据定义，当𝑛=0时成立；(2)令𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝜔𝑛+1固定(可任意选择)，假设第𝑛+1次的投掷结果为𝐻𝑋𝑛+1(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛𝐻)=Δ𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)𝑢𝑆𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)+(1+𝑟𝑓)(𝑋𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)−Δ𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛)𝑆𝑛(𝜔1𝜔2...𝜔𝑛))省略𝜔1𝜔2...𝜔𝑛，简写成：𝑋𝑛+1(𝐻)=Δ𝑛𝑢𝑆𝑛+(1+𝑟𝑓)(𝑋𝑛−Δ𝑛𝑆𝑛)。又因为：Δ𝑛=𝑉𝑛+1(𝐻)−𝑉𝑛+1(𝑇)𝑆𝑛+1(𝐻)−𝑆𝑛+1(𝑇)=𝑉𝑛+1(𝐻)−𝑉𝑛+1(𝑇)(𝑢−𝑑)𝑆𝑛林忠国(天津大学)金融工程—第14章17/51欧式期权定价Theorem2.2证明.接上：𝑋𝑛+1(𝐻)=(1+𝑟𝑓)𝑋𝑛−Δ𝑛𝑆𝑛(𝑢−(1+𝑟𝑓))=(1+𝑟𝑓)𝑉𝑛+(𝑉𝑛+1(𝐻)−𝑉𝑛+1(𝑇))(𝑢−(1+𝑟𝑓))(𝑢−𝑑)=(1+𝑟𝑓)𝑉𝑛+̃︀𝑞𝑉𝑛+1(𝐻)−̃︀𝑞𝑉𝑛+1(𝑇)=̃︀𝑝𝑉𝑛+1(𝐻)+̃︀𝑞𝑉𝑛+1(�