期权定价的数值方法（PPT41页）

8.1二叉树期权定价模型8.1.1二叉树模型的基本方法熟悉8.1.2基本二叉树方法的扩展熟悉8.1.3构造树图的其他方法和思路了解8.1.4二叉树定价模型的深入理解熟悉8.2蒙特卡罗模拟8.2.1蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉8.2.2蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉8.2.3减少方差的技巧了解8.2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用了解8.3有限差分方法8.3.1隐性有限差分法熟悉8.3.2显性有限差分法熟悉8.3.3有限差分方法的比较分析和改进了解8.3.4有限差分方法的应用了解1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、下降到原先的倍，即。pSuS1-pSd图8.1时间内资产价格的变动SuSudSd把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：tt其中.如图8.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。1u1dp1pt相应地，期权价值也会有所不同，分别为和。ufdf二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型1.无套利定价法2.风险中性定价法3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构4.证券价格的树型结构（三）倒推定价法5.倒推定价法二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程无套利定价法：构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当则组合为无风险组合SuuSdfd此时udffSuSd因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得rtuSfSufe将代入上式就可得到：udffSuSd1rtudfepfpf其中dudeptr在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：SdppSuSetr)1(dppuetr)1(假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222])1([)1(dppuSdSpupStS2222)1()1(dppudpput再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）1ud由以上三式可得，当很小时：tdudeptrteuted从而1rtudfepfpf以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。SuSu2Su3SSSuSu2Su4SSdSd3SdSd2Sd2Sd4一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：ti1ijijdSu其中0,1,,ji注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。1ud得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。Ttrt假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：，其中假定期权不被提前执行，后，则：（表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSud，0,1,,jNt1,11,[(1)]rtijijijfepfpf)0,0(ijNifijti1,11,max{,[(1)]}jijrtijijijfXSudepfpf当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：qrqdppuetqr)1()(dudeptqr)(teuted对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。qq支付已知红利率资产的期权定价可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：ijdSujij,,1,0,ti如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：tijijduS)1(0,1,,ji若在期权有效期内有多个已知红利率，则时刻结点的相应的证券价格为：jijiduS)1(ti（为0时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率）iti已知红利额将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：*()()SitSit当时it*()()()ritSitSitDe当时（表示红利）it在时刻：当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：tiit*()0jijritSudDe0,1,,ji当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：ti*0jijSud0,1,,ji（为零时刻的值）*0S*S利率是时间依赖的情形假设，即在时刻的结点上，其应用的利率等于到时间内的远期利率，则：rftttttfttedpud1fttuepud这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图的二叉树图0.5p在确定参数、和时，不再假设，而令，可得：pud1ud0.5p222rqttue222rqttde该方法优点在于无论和如何变化，概率总是不变的t三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即tSuSuSdSSSdSuSu2Su3Su2SuSuSSSdSdSd3Sd2Sd2Sd一些相关参数：3tue1du2211226dtprq2211226utprq23mp控制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：（代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A的更优估计值为：ˆBBffˆAAffBfAfˆAfˆBfˆAAffˆBBff适应性网状模型在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程t4t隐含树图通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价p取当前时刻为，在给定参数、和的条件下，当时，二叉树公式：ttpud0t,,1,rtfSttpfSutpfSdte可以在进行泰勒展开，最终可以化简为：,St22221,,,,02fffStrSStSStrfStottSS在时，二叉树模型收敛于布莱克－舒尔斯偏微分方程。0tMonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。随机路径：在风险中性世界中，为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为dSrqSdtSdz2lnln2SttStrqtt2exp2SttStrqtt或（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟：1、当回报仅仅取决于到期时的最终价值时可直接用一个大步（）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：S0T20exp2STSrqTT2、当回报依赖于多个市场变量时每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值。的离散过程可以写为：i（期权依赖于个变量，，为的波动率，为在风险中性世界中的期望增长率，为和之间的瞬间相关系数）ˆiiiiiiitttmttsttn1iinisiˆimiikik常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：.其中，表示风险中性世界中的期望。利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）：为有效期内瞬间无风险利率的平均值。ˆrTTfeEfˆEˆrTTfEefr随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1.的产生是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中是0到1的相互独立的随机数。2.模拟运算次数的确定如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满足（是进行运算的个数，为均值，是标准差）1216iiRiR112i1.961.96fMMM（一）对偶变量技术（二）控制方差技术（三）重点抽样法（四）间隔抽样法（五）样本矩匹配法（六）准随机序列抽样法（七）树图取样法主要优点：1.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解2.蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛主要缺点：1.只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2.为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。222212fffrSSrftSS转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近、和各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids）ftfS22fS可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：ijf,1ijf1,ijf,1ijf下面介绍一下、和的差分近似－8.3.1(2)、和的差分近似ftfS22fSftfS22fS1.的近似对于坐标方格内部的点，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：、和2.的近似对于点处的，我们则采取前向差分近似以使时刻的值和时刻的值相关联：3.的近似点处的的后向差分近似为，因此点处期权价值对标的资产价格的二阶差分为这个二阶差分也是中心差分，其误差为。fS,ij,1,ijijffS,,1ijijffS,1,12ijijffSft,ijftit1it1,,ijijffftt22