期货和远期价格

1第五章远期和期货的合理价格及套利2一、准备知识（一）投资资产与消费资产投资资产(investmentasset)有众多投资者仅为了进行投资而持有的资产。如股票、债券、黄金和白银。消费资产(consumptionasset)则主要是为了进行消费而持有的资产。通常不是为了投资而持有。如：黄铜、石油和腩肉等商品。投资资产的远期和期货价格，可以根据套利关系进行定价。消费资产的合约不能用套利关系进行定价。3（二）卖空参见93页1.概念。卖空(shortselling，简称shorting)：是一项交易策略，它是指卖出并不拥有的证券。对某些（并不是全部）投资资产可以适用这种交易策略。2.盈亏。如果股票价格下降了，则投资者会盈利；若股票价格上升了，则投资者会有损失。3.操作。投资者通过经纪人从其他客户处借证券来卖掉，所得价款进入自己的帐户，同时在经纪人处交纳一定的初始保证金。如果要平仓，则用自己帐户中的资金购买相应数量的证券归还原主。44.保证金账户经纪人要求做卖空的客户建立一个保证金账户。经纪人要求投资者应在保证金账户里存入现金或可销售证券，由此保证证券价格上升时，投资者不会抛弃空头头寸。客户需要支付一定数额的初始保证金，如果卖空的资产价格出现了不利的变动（这里指价格上升），则要增加追加保证金。最初卖出证券所得一般为初始保证金一部分，可在市场上流通的证券（短期国债）可能存放在经纪人处作为初始保证金。5.挤空如果在未平仓期间不能继续借到证券，则必须强制平仓，称为挤空(short-squeezed)。6.卖空期间收益的处理。借券期间，空头客户必须将该证券的任何收入（如红利、利息）经经纪人转付给被借券的客户。我们通过卖空股票的例子来解释卖空的机理。5例：一投资者于4月底卖空了500股IBM股票，每股价格$120，7月份，当股票价格为$100时，投资者买回了这些股票，结清了这些头寸。假设5月份每股股票支付了$4的红利。计算该投资者的收益。解:投资者4月份建立空头头寸时，共收到：500×$120＝$60，000；5月份红利使投资者需付出：500×$4＝$2，0007月份投资者轧平头寸时，需付出：500×$100=$50，000投资者净收益为：$60,000－$2,000－$50,000＝$8,00067（三）假设参见45页假定对部分市场参与者，以下几条成立：1、无交易费用；2、所有的市场利润（减去交易损失后的净额）使用同一税率；3、市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；4、有套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。只要求这些假设对大的投资银行等几个关键的市场参与者是正确的，至少是近似正确的。正是这些关键的市场参与者的积极交易，积极利用他们发现的套利机会，从而使套利机会很快消失。因此市场价格是无套利机会时的价格。8（四）符号本章中将要用到的符号如下：T：远期或期货合约到期的时刻(年)S0：远期或期货合约标的资产当前的价格ST：远期或期货合约标的资产在时刻T时的价格K：远期或期货合约中的交割价格f：时刻t时，远期或期货合约多头的价值F0：当前的远期或期货价格r：对交割日(即T年后)到期的一项投资而言，以连续复利计算的无风险利率9（五）持有成本理论及套利的概念1、持有成本理论是一种确定远期、期货合理价格（定价）的方法。该理论的简单表述为：远期(期货)合理价格=现货价格+净持有成本其中，净持有成本=现货的存储成本（对商品期货而言）+购买现货占压资金的利息成本-持有期收益（例如持有股票现货分得的红利，或持有债券现货的利息收益等）102、所谓套利，是指在不同市场上同时买卖相同或相似的证券而获取无风险收益的活动。如果期货的价格高于合理价格，就可以买进现货，同时卖出期货，将现货持有到期再用来交割期货，就可以无风险地获取上述等式两边的差价。反之，则做相反的操作。113、无套利均衡定价：无套利定价原则：在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。即如果某项金融资产的定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会，人们的套利活动会促使该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失12（六）远期价格和期货价格1、从利率角度：（1）当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有相同的价格。所以以下关于远期合约定价和套利的结论同样适用于相应的期货合约。13（2）当利率变化无法预测时(正如现实世界中的一样)，远期价格和期货价格从理论上来讲就不一样了。我们对两者之间的关系能有一个感性认识。①标的资产价格S与利率高度正相关。期货：当S上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利。由于S的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润将会以高于平均利率的利率进行投资。当S下跌时，投资者立即亏损。亏损将以低于平均利率水平的利率融资。14远期：持有远期多头头寸的投资者将不会因利率的这种变动方式而受到与上面期货合约同样的影响。因此，在其它条件相同时，期货多头比远期多头更具有吸引力。当S与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。②当S与利率的负相关性很强时，类似上面的讨论可知远期价格比期货价格要高。152、从期限角度；有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下时小得可以忽略不计的。现实中，使远期价格和期货价格不同的许多因素并没有反映在很多理论模型中。这些因素包括赋税、交易成本和保证金处理问题等但在大多数情况下，假定远期和期货价格相等是比较合理的。因此在本书的大多数情况下，我们假定远期和期货价格相等。符号F既可代表期货价格又可代表远期价格。随着期货合约期限的增加，远期合约与期货合约价格之间的差别有可能变得较大，因此假设远期合约价格与期货合约价格可以完全相互替代可能是危险的。欧洲美元期货具有长达10年的有效期限，所以这种问题尤为严重16二、不支付收益证券远期（期货）合约的合理价格及套利不支付收益证券包括不支付红利的股票和贴现债券等。短期利率期货的定价和套利即适用于以下的方法。最容易定价的远期合约就是基于不支付收益证券的远期合约。17（一）定价1、持有成本理论下合理价格的确定对不支付红利的证券，因为既无存储成本，又无收益,持有成本就是r。由于现货证券不支付收益，所以合理的远期价格应该等于现货价格（本金）加上在T时段内该本金应该产生的利息，即本利和。在连续复利条件下：rTeSF00182、无套利定价由f与K、S0的关系推出合理价格组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke-rT的现金；组合B：一单位标的证券在时刻T，两种组合都可以获得一单位的证券，因此在期初时刻，两个组合也必然等价。当f=0时，F=K，代入上式，得：一般的有：0SKefrTrTKeSf0rTeSF00rTeKFf)(019例5.1考虑一个4个月期远期合约，规定购买一个从今天算起期限为1年的零息票债券（也就是说远期合约到期之后债券有效期还剩8个月）。该债券的现价为$930。我们假定连续复利计算的4个月期无风险利率为每年6%。因为零息票债券不支付收益，我们可以使用公式(5.1)。那么，T=4/12，r=0.06，S0=930。则远期价格F0为：F0=930e0.06×4/12=$948.79这就是当前能商定的交易的远期合约价格20例考虑一个6个月期的远期合约的多头状况，标的证券是一年期贴现债券，远期合约交割价格为$950。我们假设6个月期的无风险利率(连续复利)为年利率6％，债券的现价为$930。求远期合约的价值。解：此时，T=0.50，r=0.06，K=950，S0=930，远期合约多头头寸的价值f为：f=930—950e-0.5×0.06=8.06类似地，该远期合约空头的价值为—8.08。21（二）、不支付收益证券远期（期货）合约的套利以F0*表示远期合约的实际市场价格1、如果F0*F0，即说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。套利:rTeSF0*00时刻T时刻1.以利率r借S0美元T年：S02.购买证券现货：-S03.卖出远期合约：01.购买的现货交割到期的远期合约，得价款：F0*2.归还借款本利和：-S0erT合计：0合计：22例：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。①判断：期货价格被高估②套利：4350.404012/305.0eSet)r(T0时刻T时刻1.以利率5%借40美元T年：402.购买证券现货：-403.卖出远期合约：01.购买的现货交割到期的远期合约，得价款：432.归还借款本利和：-40.5合计：0合计：43-40.50=$2.5023（二）、不支付收益证券远期（期货）合约的套利以F0*表示远期合约的实际市场价格2、如果F0*F0，即说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。套利0时刻T时刻1.卖空现货：S02.按年利率r进行期限为T投资：-S03.购买远期合约：01.投资得本利和：S0erT2.交割远期合约，支付：F0*3.再用期货交割中所得的证券冲抵原来的现货空头部位。合计：0合计：*00FeSrT24例：期限为3个月的股票远期合约的价格为39美元。3个月后到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。①判断：期货价格被低估②套利：0时刻T时刻1.卖空现货：402.按年利率r进行期限为T投资：-403.购买远期合约：01.投资得本利和：40.502.交割远期合约，支付：-393.再用期货交割中所得的证券冲抵原来的现货空头部位。合计：0合计：40.50-39=$1.503950.404012/305.0eSet)r(T25(三)不允许卖空情况下的套利如果投资资产不能进行卖空交易。我们只需要假设有众多投资者仅为了进行投资而持有该类资产（根据投资资产的假设，这总是成立的），同样可以进行套利，远期价格会自动调整，使得前两种套利机会都不会存在。保证公式(5.1)成立。如果远期价格较低，投资者会发现卖出资产并持有远期多头是对他们有利的。假设标的资产是黄金，不支付收益，不考虑贮存成本。投资者可以采取如下策略：26F0S0erTF0S0erT0时刻1.以利率r借S0美元T年2.购买一盎司黄金3.持有一盎司黄金的远期空头1.以价格S0卖出黄金2.把得到的资金以利率r投资T年3.持有一盎司黄金的远期多头T时刻1.执行远期，以F0卖出1盎司黄金。2.偿还资金S0erT。套利收益=F0-S0erT1.投资本息和S0erT。2.以价格F0购买黄金。套利收益=S0erT-F027三、支付已知现金收益证券远期（期货）合约的合理价格和套利支付已知现金收益证券:是指证券（远期合约的标的资产）将为持有者提供可完全预测的现金收益。已知现金收益证券：在持有期内，可以为持有者提供可完全预测的现金收益的证券（如已知红利的股票或息票债券）。中长期国债期货的定价和套利即适用于以下方法。28（一）定价1、持有成本理论下合理价格的确定设I为远期合约有效期内所得现金收益的现值，贴现率为无风险利率。则rTrTIeeSF00rTeISF)(00292、无套利定价由f与K、S0的关系推出合理价格组合A：一个远期合约多头加上一笔数额为Ke-rT的现金；组合B：一单位标的证券加上以无风险的利率借I数额的资金（即同时负债I）在T时刻，两个组合都可以得到一单位的证券，在当前它们也应具有相同的价值当f=0时，F0=K，代入上式，得：ISKefrT0rTKeISf0rTeISF)(0030例：一个股价为$50的股票的10个月期远期合约。假设对