任意角的三角函数课件ppt

一、教学目标1、知识与技能：借助单位圆理解任意角的三角函数；从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；已知任意角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；记住三角函数的定义域、值域，诱导公式一；2、过程与方法：利用终边和单位圆的交点坐标求三角函数值；各个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练运用。3、情感态度与价值观：学习转化的思想，培养学生严谨治学，一丝不苟的科学精神。二、教学重难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.sincostanacaACBbcbcab答案初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？复习引入22:barOPbMPaOM其中yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan﹒baP,﹒Moabr知识探究一OPMPsinOPOMcosOMMPtan，故因1rOPyxxy以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yoP),(yxx1M思考21、任意角的三角函数第一定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP规定:（1）叫做的正弦，记作，即；ysinysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosxxcos（3）叫做的正切，记作，即。xytanxytan注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.0,1AOyxyxP,﹒)0(x重点理解根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思考3三角函数定义域sincostanR)(2ZkkR0,1AOyxyxP,﹒设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正切，即xy0tanxxy2、任意角的三角函数第二定义：xyrOxyMP(x,y)诱思探究如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？思考四重点理解理论迁移例1、求的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以2335sin2135cos335tan思考：若把角改为呢?3567,2167sin，3367tanxyo﹒﹒AB35,2367cosC几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα23220000000011111不存在不存在034622221123233321231.角α的终边经过点P(0,b)则()A.sinα=0B.sinα=1C.sinα=-1D.sinα=±12.若角600o的终边上有一点(-4,a),则a的值是()DB3.34.34.34.DCBA练习例2、已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P22223(4)5rxy3cos5xr4tan3yx4sin5yr于是，解：由已知可得：变式1、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是，解：由已知可得：合作演练变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式3：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式4______________,1313sin3(mmp则且终边上的一点，）是角，已知点23rm解析：131332mm21划归的思想31322mm412m三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：1sinyr、正弦函数值,00,yryr第一象限：故为正值；,00,yryr第二象限：故为正值；oxy,00,yryr第三象限：故为负值；,00,yryr第四象限：故为负值；上正下负横为02cosxr、余弦函数值,00,xrxr第一象限：故为正值；,00,xrxr第二象限：故为负值；,00,xrxr第三象限：故为负值；,00,xrxr第四象限：故为正值；oxy三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为000,,yxyx第一象限：故为正值；00,,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,,yxyx第三象限：故为正值；00,,yxyx第四象限：故为负值；3tanyx、正切函数值三角函数在各象限内的符号：交叉正负oxyoxyoxysincsc、cossec、tancot、规律：“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”“一全二正弦，三切四余弦”例1确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）250cos)672tan(4sin（2）因为=，而是第一象限角，所以；)672tan(48tan)483602tan(0)672tan(48练习确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos解：（3）因为是第四象限角，所以.404sin例2sin0{tan0若成立，则角为第几象限角角？？0sin三、四例2sin0{tan0若成立，则角为第几象限角角？？0sin三、四0tan三一如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？？yoP),(yxx1M如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk（其中）zk公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.360020到或到？例3求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（1）224cos)24cos(49cos练习求下列三角函数值319tan)431tan(31336tan6tan)26tan()611tan(（2）yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函数线——正弦线和余弦线【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段AT叫角α的正切线这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sin⑴xOy-1-11121y角的终边PM例题1(2)sin;2)(]265,26[Zkkk-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21cos221x335Zkkk352,32变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.2123xOy-1-11166113234＜α≤62|k，或322k≤α＜342kZkk，6112Zkkkkk)6112,342322,62(课堂练习1.已知是第三象限且，问是第几象限角？02cos22.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号课堂练习3.若lg(sintan)有意义，则是（）A第一象限角B第四象限角C第一象限角或第四象限角D第一或第四象限角或x轴的正半轴C4.已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0,sin0,则a的取值范围是。-2a35.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：sinαcosα;课堂练习1.内容总结：(1)三角函数的概念.(2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号(3)诱导公式一.(4)三角函数线运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：布置作业优化设计P10——P11