直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线和圆一．直线的倾斜角：1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2．倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，）；（2）过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么],32,3[值的范围是______（答：42mm或）二．直线的斜率：1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2．斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；3．直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？4．应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,xy满足3250xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为______（答：2,13）三．直线的方程：1．点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。3．两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5．一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：13(2)yx）；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）；（3）若曲线||yax与(0)yxaa有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：1a）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）四．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；2．知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；4．与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；5．与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。六．直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：1．平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；2．相交12210ABAB；3．重合12210ABAB且12210BCBC。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC垂直12120AABB。如（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m＝_______时1l∥2l；当m＝________时1l2l；当m_________时1l与2l相交；当m＝_________时1l与2l重合（答：－1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120xy，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490xy）；（3）两条直线40axy与20xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：12a）；（4）设,,abc分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin0Axayc与sinsin0bxByC的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)Pxy是直线:(,)0lfxy上一点，222(,)Pxy是直线l外一点，则方程1122(,)(,)(,)fxyfxyfxy＝0所表示的直线与l的关系是____（答：平行）；（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：43401xyx和）七．到角和夹角公式：1．1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，,0且tan=21121kkkk(121kk)；（2）1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,]2且tan=︱21121kkkk︱(121kk)。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线240xy与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360xy）八．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)Mab与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线0xy对称，则点Q的坐标为_______（答：(,)ba）（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是___________（答：0bxayc）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________（答：3y=3x＋）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x510y＋）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650xy）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知Ax轴，:Blyx，C（2，1），ABC周长的最小值为______（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。九．简单的线性规划：1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点11(,)Pxy，22(,)Qxy，若11AxByC与22AxByC同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线:2lykx与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________（答：31－，－，＋）2．线性规划问题中的有关概念：①满足关于,xy的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。②关于变量,xy的解析式叫目标函数，关于变量,xy一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解（,xy）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件||1||1xy下，取最小值的最优解是____（答：（－1，1））；（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________（答：23t）；（3）不等式2|1||1|yx表示的平面区域的面积是_________（答：8）；（4）如果实数yx,满足2040250xyxyxy，则|42|yxz的最大值_________（答：21）4．在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。十．圆的方程：1．圆的标准方程：222xaybr。2．圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；3．圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt。4．1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：224xy＝；23；340xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是__（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：21k）；（6）若3cos{(,)|3sinxMxyy（为参数，0)}，bxyyxN|),(，若NM，则b的取值范围是_________（答：3,32－）十一．点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的