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1任意角的三角函数（第一课时）教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.一、重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.二、教学过程[执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业]（一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问：在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称映射ƒ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？引伸铺垫、创设情景对边邻边αsinα=斜边对边，conα=斜边邻边，tanα=邻边对边（图1）2（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM=x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？追问：锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点O旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.得出结论(强调)：当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.（三）分析归纳、自主定义（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?水到渠成，师生共同进行探索和推广：xO·MP(x,y)ysinα=斜边对边=ry，conα=斜边邻边=rx，tanα=邻边对边=xy?=yr?=xr?=yx（图2）xO·MPy（图3）P′M′α3对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：；（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：（板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点O之间的距离记作r（r=22yx＞0），列出六个比值：ryrxxyyrxryxα=kπ+π/2时，x=0，比值y/x、r/x无意义；α=kπ时，y=0，比值x/y、r/y无意义.追问：α大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随α的变化而变化.再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.综上得到（强调）：当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α，六P(x,y)yxOyxP(x,y)O角α终边P(x,y)yxOP(x,y)yxO（图4）P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·P(x,y)yxO·（图5）4个比值（如果存在的话）都不会随P在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：ry=sinα（正弦）rx=cosα（余弦）xy=tanα（正切）yr=cscα（余割）xr=sec（正弦）yx=cotα（余切）教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不是，sinα是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）.其它几个三角函数也如此投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：（图六）指导学生识记六个比值及函数名称.教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.引导学生进一步分析理解：已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.（四）探索定义域（情景6）（1）函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域.正弦函数sinα的对应法则是什么？正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确α···α···y—r正弦α···α···x—r余弦α···α···y—x正切α···α···r—y余割α···α···r—x正割α···α···x—y余切5定的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即α→y/r=sinα.(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：三角函数sinαcosαtanαcotαcscαsecα定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.关于sinα=y/r、cosα=x/r，对于任意角α（弧度数），r＞0，y/r、x/r恒有意义，定义域都是实数集R.对于tanα=y/x，α=kπ+π/2时x=0，y/x无意义，tanα的定义域是：{α|α∈R，且α≠kπ+π/2}.………教师指出:sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cotα、cscα、secα的定义域不要求记忆.（关于值域，到后面再学习）.（五）符号判断、形象识记（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：（同好得正、异号得负）sinα=y/r：上正下负横为0cosα=x/r：左负右正纵为0tanα=y/x：交叉正负练习巩固、理解记忆1、自学例1：已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值.要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.课堂练习：p19题1：已知角α的终边经过点P（-3，-1），求α的六个三角函数值.要求心算，并提问中下学生检验，--------点评：角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上－y－＋＋x－y＋－＋x＋y－－＋x6任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.补充例题：已知角α的终边经过点P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五个三角函数值.师生探索：已知y=-3，要求其它五个三角函数值，须知r=？，x=？.根据定义得22)3(xx=54（方程思想），x＞0，解得x=4，从而--------.解答略.2、自学例2：求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.提问，据反馈信息作点评、修正.师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19题2.（改编）填表：角α（角度）0°90°180°270°360°角α（弧度）sinαcosαtanα处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.（六）回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，---，在终边上任意取定一点P，---）2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，------）3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置，-----）（七）布置课外作业1．书面作业：习题4.3第3、4、5题.2．认真阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，