1.4.2正弦函数余弦函数的性质1(教学设计)

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计11.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、创设情境,导入新课：1．现实生活中的“周而复始”现象：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律正弦函数()sinfxx性质如下：（观察图象）1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；––222525Oxy11SCH高中数学（南极数学）同步教学设计22规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有(2)sin(2)sin()fxkxkxfx．也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin(2)sinxkx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、师生互动，新课讲解：1．周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题：（1）正弦函数sinyx，xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k，kZ且0k）余弦函数呢？（2）观察等式4sin)24sin(是否成立？如果成立，能不能说2是y=sinx的周期？（3）若函数()fx的周期为T，则kT，*kZ也是()fx的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()fxfxTfxTfxkT）2.最小正周期：T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx,y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期）从图象上可以看出sinyx，xR；cosyx，xR的最小正周期为2；3、例题讲解例1（课本P35例2）求下列三角函数的周期：①xycos3②xy2sin（3）12sin()26yx，xR．解：（1）∵3cos(2)3cosxx，∴自变量x只要并且至少要增加到2x，函数3cosyx，xR的值才能重复出现，所以，函数3cosyx，xR的周期是2．（2）∵sin(22)sin2()sin2xxx，∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数sin2yx，xR的值才能重复出现，SCH高中数学（南极数学）同步教学设计3所以，函数sin2yx，xR的周期是．（3）∵),621sin(]6)4(21sin[2]2)621sin[(2xxx，∴自变量x只要并且至少要增加到4x，函数sin2yx，xR的值才能重复出现，所以，函数)621sin(2xy，xR的周期是4．变式训练1：求下列三角函数的周期：（1）y=sin3x（2）y=cos3x（3）y=3sin4x(4)y=sin(x+10)(5)y=cos(2x+3)解：1sin(3x+2)=sin3x又sin(3x+2)=sin3(x+32)即：f(x+32)=f(x)∴周期T=322cos3x=cos(23x)=cos)6(31x即：f(x+6)=f(x)∴T=633sin4x=3sin(4x+2)=3sin(）（841x)=f(x+8)即：f(x+8)=f(x)∴T=84sin(x+10)=sin(x+10+2)即f(x)=f(x+2)∴T=25cos(2x+3)=cos[(2x+3)+2]=cos[2(x+)+3]即：f(x+)=f(x)∴T=由以上练习，请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。小结：形如y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,xR)周期2||Ty=Acos(ωx+φ)也可同法求之一般结论：函数sin()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2||TSCH高中数学（南极数学）同步教学设计4课堂巩固练习2快速求出下列三角函数的周期(1)y=sinx43（2）y=cos4x+1(3)y=)5cos(21x(4)y=sin(431x)(5)y=3cos(-352x)-1三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x).2.y=sinx与y=cosx的周期都是2k,最小正周期是2π.3.sin()yAxb及cos()yAxb的周期2||T四、作业布置1、P5232、金太阳导学案与固学案4．奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-3)=21,f(3)=21,即f(-3)=f(3)；……由于cos(－x)=cosx∴f(-x)=f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。SCH高中数学（南极数学）同步教学设计5定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。例2：判断下列函数的奇偶性(1)y=sinxcosx(2)y=cos2x变式训练2：判断下列函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx(2)y=sin2x5.单调性SCH高中数学（南极数学）同步教学设计6从y＝sinx，x∈［－23,2］的图象上可看出：当x∈［－2，2］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［2，23］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.例3：求函数y=1sin()23x的单调递增区间。变式训练3：求函数y=1sin()23x的单调递减区间。6．最大值与最小值。正弦函数y=sinx当x=22k时取最大值1，当x=322k时取最小值-1。余弦函数y=cosx当x=2k时取最大值1，当x=2k最取最小值-1。（以上kZ）例4：（课本P38例3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？SCH高中数学（南极数学）同步教学设计7（1）y=cosx+1(2)y=-3sin2x变式训练4：（课本P39例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。①sin()sin()1810与；②2317cos()cos()54与课堂巩固练习2（课本P40练习NO：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。3、会求sin()yAxb的单调区间。4、会求sin()yAxb的最值。四、课时必记：1、一般结论：函数sin()yAxb及函数cos()yAxb，xR的周期2||T2、y=sinx为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx是偶函数，图象关于y轴对称。3、正弦函数y=sinx每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计8余弦函数y=cosx在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.4、正弦函数y=sinx当x=22k时取最大值1，当x=322k时取最小值-1。余弦函数y=cosx当x=2k时取最大值1，当x=2k最取最小值-1。（以上kZ）五、分层作业：A组：1、（课本P46习题1.4A组NO：2）2、（课本P46习题1.4A组NO：3）3、（课本P46习题1.4A组NO：4）4、（课本P46习题1.4A组NO：5（1））SCH高中数学（南极数学）同步教学设计9B组：1、（课本P46习题1.4A组NO：5（2））2、(tb0135302)函数y=Asin(wx+)+C中，A、w、、C为常数，且A0，w0，则这个函数的最小值是（C）。（A）A+C（B）A-C（C）-A+C（D）-A-CC组：1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期（1）y=|sinx|(2)y=|cosx|2、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值。