数列知识点总结

1数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad(d为常数)，11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质：na是等差数列(1)若mnpq，则mnpqaaaa；(2)数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；(3)若三个成等差数列，可设为adaad，，(4)若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT(5)na为等差数列2nSanbn(ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)。nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，(即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值;当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.)(6)项数为偶数n2的等差数列na，有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.(7)项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.22.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa(q为常数，0q)，11nnaaq.等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq性质：na是等比数列(1)若mnpq，则mnpqaaaa··(2)232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.3．求数列通项公式的常用方法◆由nS求na。(1,2,11nSnSSannn)例1：数列na，12211125222nnaaan……，求na解1n时，112152a，∴114a2n时，12211125222nnaaan……①12121111215222nnaaan……②①—②得：122nna，∴12nna，∴114(1)2(2)nnnan［练习］数列na满足111543nnnSSaa，，求na注意到11nnnaSS，代入上式整理得14nnSS，又14S，∴nS是等比数列，故4nnS。2n时，1134nnnnaSS……·1,42,431nnann故3◆由递推公式求na(1)累加法(形式)(1nfaann)例2：数列na中，111132nnnaaan，，求na解：33321222111aaaaaannnnnnn时，累加得2)13(33331121nnnaa)13(21nna(2)累乘法(形式)(1nfaann)例3：数列na中，1131nnanaan，，求na解：3212112123nnaaanaaan·……·……，∴11naan又13a，∴3nan.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)▼取倒构造(1na等于关于na的分式表达)例4：11212nnnaaaa，，求na解：由已知得：1211122nnnnaaaa，∴11112nnaa∴1na为等差数列，111a，公差为12，∴11111122nnna·，∴21nan▼同除构造例5：nnnnaaaa求,33,111。解：对上式两边同除以13n，得313311nnnnaa，则nna3为等差数列，3131a，4公差为31，∴331)1(313nnann，∴1333nnnnna。例6：11132,1nnnaaa，求na。解：对上式两边同除以12n，得111)23(22nnnnnaa，令nnnab2，则有1123nnnbb，累加法可得89)21(43321)23(1)23(121nnnbb，,21211ab又则85)21(43nnb，即43285,85)21(432nnnnnaa。例7：nnnnnaaaaaa求,02,1111。解：对上式两边同除以1nnaa，得02111nnaa，即2111nnaa，则na1为等差数列，111a，公差为2，∴12)1(211nnan，∴121nan。▼取对构造(涉及na的平方)例8：.,3,3211nnnaaaa求解：对上式两边取对数，得213lglgnnaa，由对数运算性质得3lglg2lg1nnaa两边同时加3lg，整理得,lg23lg),3lg(lg23lglg11nnnnaaaa即则na3lg为公比为2的等比数列，由此推知na通项公式。▼等比型(常用待定系数)例9：nnnaaaa求,23,111。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(31kakann，整理可知22k，则1k，∴原式可化为)1(311nnaa，则1na为公比=3的等比数列，由此推知na通项公式。5例10：134,211naaann，求na。解：待定系数法设上式可化为如下形式：)(4)1(1bknabnkann，整理可知1333kbk，得0,1bk，∴原式可化为)(4)1(1nanann，则nan为公比=4的等比数列，由此推知na通项公式。▼提公因式例11：nnnnaaaaa求,21,111。解：上式变形为11nnnnaaaa，等号左边提公因式得111nnnaaa，,111nnnaaa两边取倒数得11111,11111nnnnnaaaaa，11na为公差为1的等差数列，由此推知na通项公式。例12：)2(32,3,21121naaaaannn当，求na。解：上式变形为11112,22nnnnnnnnaaaaaaaa，令nnnaab1，则121nnbb，112121,1nnnbbb的等比数列，公比为为首项，1121nnnaa；由累加法可求得na通项公式。4.求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)例13：求和nn21813412211。解：原式=)21814121()321(21813412211nnnn=2)1(211211)211(212)1(nnnnnn(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)常用：111)1(1nnnn；)211(21)2(1nnnn；nnnn111。6(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)例14：2311234nnSxxxnx……求nS。解：2311234nnSxxxnx……①23412341nnnxSxxxxnxnx·……②①—②2111nnnxSxxxnx……1x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nnnSn……[练习]求数列nnSnn项和的前2。(答案：nnnS222)(4)倒序相加(前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………相加12112nnnnSaaaaaa……5.求数列绝对值的前n项和(根据项的正负，分类讨论)例15：已知数列na的通项nan211，nnab，求nb的前n项和nT。解：设数列na的前n项和为nS，,2,91da公差210)2(2)1(9nnnnnSn5n时，2212110nnSaaaaaaTnnnn5n时，5010)10(50222555765216521nnnnSSSSSaaaaaaaaaaaTnnnnn∴5,50105,1022nnnnnnTn。