第12讲__期权和期权定价2

1第一部分期权风险度量指标第二部分二叉树模型第三部分期权套利策略第12讲期权和期权定价22期权价格受多种因素的影响，期权风险评价参数通常用Delta，Gamma，Vega，Rho等。通过这些参数可有助于把握期权价格变动，衡量和管理风险。一、Delta第1部分期权风险度量模型3Delta也表示为∆或δ，称为对冲比，衡量期权价格变化与期权标的物价格变化之间的关系，即期权价格与期权标的物价格关系曲线的斜率。其衡量的是期权对期权标的物价格变动所面临的风险程度的指标。期权距离到期日越长，实值、虚值、平值三种期权的Delta越接近，反之，期权距离到期日的时间越接近，这三种期权的Delta差距越大。套保者可借助Delta计算对冲特定标的物需要的期权合约的数量。4二、Gamma即γ，衡量的是期权标的物价格变化所引起的Delta值的变化。准确来说，是期权Delta变化相对于标的物价格变化的比率。因此，Gamma是衡量Delta相对标的物价格变动的敏感性指标，是期权价格对标的物价格的二阶导数，反映Delta变化的频率或速度。该数值绝对值越大，风险程度越高；绝对值越小，风险程度越低56看涨期权和看跌期权的Gamma值都是正值；深度实值和深度虚值的Gamma值接近于0对于其他合约内容相同的期权，平值期权的Gamma值大于实值期权或虚值期权的Gamma值（三）Theta指标即θ,用于衡量期权理论价值因为时间缩短而下降的速度，是时间缩短的风险度量指标。无论看涨还是看跌期权，随着时间缩短都会造成期权理论价值下降。7当其他条件不变时，期权价值随到期日的临近而不断加速衰减，因此，期权多头Theta值为负值；期权空头的Theta值为正值，对于卖方，随着到期时间来临行权的可能下降。对于其他合约条款相同的期权，平值期权Theta值大于实值或虚值期权。8四、Vega期权即ν，定义为期权价格的变化与标的物价格波动率变化的比率。随着时间流逝，标的物价格波动率变化会引起期权价格的变动。Vega衡量期权标的物价格波动对期权价格的影响。Vega=期权价格的变化/标的物价格波动率变化期权多头Vega值为正值，期权空头Vega值为负值。五、Rho指标即ρ，定义为期权价格的变化与利率变化之间的比率，用来衡量期权理论价值对于利率变动的敏感性，计量利率变动带来的风险。9Rho=期权价格的变化/利率变化一般来说，实值期权Rho值平值期权虚值期权的Rho值，对于深度虚值期权来说，Rho值接近于010第二部分二叉树期权定价模型11一、假设前提二叉树模型常被用于描述金融市场中变量的随机行为，比如股票价格、股票指数、外汇汇率和利率等。二叉树期权定价模型是常用的期权定价模型之一。约翰.考克斯，罗斯，马克.鲁宾斯坦因在1979年发表的论文中最初提到该理论的要点。所谓的二叉树是指标的资产价格的变化只存在两种可能性，即上涨或下跌，其对实际情况有所简化，但是模型可以最终延伸之包括所有的可能性。12二叉树模型可以用来对典型的不支付股息的欧式期权公平定价，也可以将该模型修改后对美式期权及支付股息的期权定价。二叉树模型满足系列假设条件：第一，交易成本和税收为0第二，投资者可以以无风险利率借入或贷出资金第三，市场无风险利率为常数第四，股票的波动率为常数第五，不支付股票红利13鉴于一旦出现套利机会，市场参与者可以随时准备利用这些套利机会，这意味着任何可以利用的套利机会将很快消失。为此，我们假定不存在套利机会。符号表示：S:期权标的资产的即期价格X:期权执行价格T：期权到期时间ST：T时刻标的资产的价格σ：期权标的资产价格波动的标准差r：T时刻到期的投资的无风险利率，r0c：看涨期权价格；p：看跌期权价格14二、一阶段二叉树的引入简单的离散型的二叉树模型分析：一阶段是指：标的资产价格变化从一个给定的价格开始，在期权到期时价格变化为一个新的价格。在这里我们定义一个阶段后，标的资产价格上升至Su或下降到Sd，并且期权为欧式期权。（一）构造一阶段二叉树模型假设标的资产价格升到S+，看涨期权价格为C+，同样标的资产价格下降到S-，期权价格为C-。15一阶段二叉树模型S(C=?)S+c+=max（0，s+-x）S-（c-=max（0，s--x））16当期权到期时，其价格等于其内涵价值。即：C+=max（0，S+-X）C-=max（0，S--X）此时，看涨期权价格c未知，求c。增加两个参数，u表示标的资产价格上涨，d表示标的资产价格下跌u=S+/Sd=S-/S假设我们知道除c外所有的变量信息，现构造一个无风险对冲组合，该投资组合由标的资产和一份卖出看涨期权组成，此时，买入n数量的标的资产，n为套保比例。该投资组合的价值为H。H=nS-c即意味着我们拥有n数量的价格为s的标的资产，同时卖出一份看涨期权17一阶段后，该投资组合的价值为H+或H-H+=ns+-c+H-=ns—c-由于该组合为无风险的对冲组合，应当达到下述效果：即无论标的资产价格如何变动，组合的价值都是不变的，因此，H+=H-，这意味着H+=ns+-c+=ns—c-n=（c+-c-）/(s+-s-)一个无风险对冲组合的价值是按照无风险利率增长的，假定：H+=HerTH-=HerT把H+,H-，H分别代入后，得到看涨期权的公式：c=[pc++（1-p）c-]e-rTp=（erT-d）/(u-d)期权的即期价格为两种可能期权价格的加权平均值，权重分别为p和1-p。这个加权平均值再贴现为现值，就成为即期期权价格18p和1-p实际为风险中性概率，该定价过程也称为风险中性定价。同理可得看跌期权的定价公式：p=[πp++（1-π）p-]e-rT举例说明：假定标的物为不支付股息的股票，其现在价值为50美元，股票价格可能上涨的幅度为25%，可能下跌的幅度为20%，看涨期权的执行价格为50美元，无风险利率为7%，求该期权现在价格。S+=62.5S-=40U=1.25d=0.8一阶段后期权价值为：19C+=max（0，s*-x）=12.5C-=max（0，s*-x）=max（0,40-50）=0Π=（erT-d）/(u-d)=（e0.07-0.8）/0.45=0.61C=[pc++（1-p）c-]e-rT=[0.61*12.5+0.39*0]e-0.07=7.1120（二）两阶段的二叉树模型两阶段二叉树模型表达式，在一阶段的基础上，延伸模型更加贴近现实，资产价格变化多于两种结果。S(C=?)S+（c+）S-（c-）S++C++=max（0，s++-x）S+-=s-+（c+-=c-+=max（0，s+--x）S--C--=max（0，s---x）21先观察第一阶段末：C+=[πc+++（1-π）c+-]e-rTC-=[πc-++（1-π）c--]e-rTπ=[erT-d]/(u-d)C=[πc++（1-π）c-]e-rT=[π（πc+++（1-π）c+-）+（1-π）（πc-++（1-π）c--]）]e-2rT=e-2rT[π2c+++2π（1-π）c+-）+（1-π）2c--]22练习：假定标的物为不支付股息的股票，其现在价值为50美元，假定两阶段模型中股票价格可能上涨的幅度为11.8%，可能下跌的幅度为10.56%，看涨期权的执行价格为50美元，无风险利率为3.44%，则：（1）一阶段后期权的价格分别为多少？（2）现在期权的价格为多少？23解析：S++=50*1.118*1.118=62.5S+-=50*1.118*0.8944=50S--=50*0.8944*0.8944=40C++=max(0,s++-50)=12.5C+-=max(0,0)=0C--=max(0,40-50)=0U=1.118*1.118=1.25d=0.8944*0.8944=0.8Π=[erT-d]/(u-d)=(e0.0344-0.8944)/（1.118-0.8944）=0.628824C+=[πc+++（1-π）c+-]e-rT=（0.6288*12.5+0.3712*0）e-0.0344=7.5616C-=[πc-++（1-π）c--]e-rT=0C=[πc++（1-π）c-]e-rTΠ=（erT-d）/(u-d)=（e0.0344-0.8944）/(1.118-0.8944)=0.6288C=[πc++（1-π）c-]e-rT=(0.61*7.5616+0.39*0)*e-0.0344=4.4625三、布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克-斯科尔斯期权定价模型简称B-S模型，首先由布莱克和斯科尔斯于1972年提出，1973年5月他们在JournalofPoliticalEconomy杂志发表了期权与公司负债的定价一文，推导出无红利支付股票的任何衍生品的价格必须满足的微分方程，并成功得出欧式看涨期权和看跌期权定价的精确公式，使得期权和其它衍生品产品的定价理论获得突破性进展，从而成为期权定价的经典模型。其创新是将套利用于解决期权的定价问题，引进了风险中性定价并推导出布莱克-斯科尔斯期权定价模型，该模型对金融市场影响深远。26布莱克-斯科尔斯模型给出了期权价格理论上的价格参考，实际过程中由于价格波动性的估算差别，投资者对期权出价也会有较大出入。在国外期权交易中，投资者只要将权利金的基本因素输入软件程序就可立即知道权利金的理论价格。（一）布莱克-斯科尔斯期权模型基本形式定价方法的基本思想：期权价格及其所以来的标的资产价格都收到同一种不确定性因素的影响，两者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消。这样构造的资产组合为无风险的资产组合，在不存在无风险套利的情况下，该资产组合收益率应等于无风险利率。271.BS模型的假设条件股票价格服从对数正态概率分布，股票预期收益率与价格波动率为常数无风险利率已知且保持不变期权有效期内没有红利支付不存在无风险套利机会证券交易为连续进行投资者能够以同样的无风险利率借入和借出资金没有交易成本和税收，所有证券均可无限可分282.BS基本定价公式在上述假设的基础上，构造资产组合，其中K为期权的执行价格,那么，欧式看涨期权在风险中性世界里，当期权到期时的期望值为E[max（ST-K,0)]欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，即e-rTE[max（ST-K,0)]。无收益资产欧式看涨期权定价公式进一步表达为：c=e-rT[SN(d1）erT-KN（d2）]=SN(d1）-e-rTKN（d2）其中，N（d2）代表风险中性世界里期权被行使的概率，KN（d2）代表执行价格乘以执行价格被支付的概率29SN(d1）erT表示在STK时等于S，在其它情形等于0的变量在风险中性世界的期望值。B-S模型一般只能用于欧式期权定价，但是，由于在没有红利支付的情况下，美式看涨期权不会提前执行，因此，其价值与对应的欧式看涨期权一致。根据风险中性假定，在标的资产无收益的情况下，无收益美式看涨期权与无收益欧式看涨期权的价值相等，因此，上述公式也是无收益资产美式看涨期权定价公式30无收益欧式看涨期权和看跌期权满足一定的平价公式，因此，欧式看跌期权定价公式为：P=Ke-rTN（-d2）-SN(-d1）其中，N(d1）和N（d2）表示d1和d2的值分别计算正态概率分布值。d1=[ln（s/K）+（r+σ2/2）（T-t）]/σ（T-t）1/2d2=d1-σ（T-t）1/2=[ln（s/K）+（r-σ2/2）（T-t）]/σ（T-t）1/2在公式中，期权价值取决于5个变量：标的资产即期价格S，期权执行价格K无风险利率r，期权到期时间T，t为当前时点σ标的资产的价格标准差（波幅）31在这五个变量中，只有波幅是未知的，需要对期权的到期日波幅进行预