第6章_因素模型与套利定价理论

利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利(arbitrage)。套利行为需要同时进行等量证券的买卖，以便从其价格关系的差异中获取利润。套利概念是资本市场理论的核心。当不考虑（无风险）套利机会时均衡市场价格是合理的，这也许是资本市场理论中最基本的原理。能保证不存在套利可能性的价格关系是极有效力的，假如实际证券价格允许套利，其结果将是强大的压力迫使证券价格恢复均衡。第6章因素模型与套利定价理论第一节因素模型一、单因素模型的起因假定公司收益的不确定性只有以上两种来源，即对所有公司都有影响的宏观经济因素和单个公司特有的因素，这样就可以把公司的持有期收益率写成如下形式：（6-1）其中，为该证券在持有期期初时的期望收益率，为持有期间非预期的宏观经济事件对证券收益率的影响，为非预期的公司特有事件对证券收益率的影响。2()iiiirErme()iErimie将非预期的宏观经济因素记为F，并假设不同公司对该因素有不同的敏感度，记为βi，上式演变成：（6-2）公司收益率的方差为：（6-3）不同公司收益率之间的协方差为：（6-4）()iiiirErFe2222()iiFie2cov(,)cov(,)ijiijjijFrrFeFe二、单指数模型Sharpe用股票指数的收益率代替了单因素模型中的宏观影响因素，称为单指数模型：（6-5）写成风险溢价或者超额收益的形式，可以得到：（6-6）或者写成（6-7）4()iiiMirErre()ifiiMfirrrreiiiMiRRe2cov(,)cov(,)var()cov(,)iMiMiMiMiMiMrrrerrer求出股票i的收益和市场指数收益之间的协方差为（6-8）如果对（6-8）两边取期望，我们可以得到（6-9）cov(,)var()iMiMRRR()()ifiiMfErrErr三、多因素模型两因素模型为例，假设宏观经济风险主要来源于经济周期和利率的变化。这样以来，我们就能用GDP的增长率和利率水平来衡量系统性风险。任何股票的收益率将同时受到这两个因素以及公司自身特有因素的影响，可以将其写成:（6-10）其中，为因子载荷。()iiiGDPiIRirErGDPIRe例：使用多因素模型来进行风险评估以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：r=0.133+1.2GDP-0.3IR+ei这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率为13.3%，但如果在预期的基础上GDP每增加一个百分点，股票的收益率将增加1.2%，但是对于非预期的利率每增加一个百分点，股票收益率将降低0.3%。多因素证券市场线多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。可是，E(r)从哪儿来？在两因素经济中，风险能够用式（6-10）衡量，证券的期望收益率是以下三项之和：1)无风险收益率；2)对GDP风险的敏感度乘以GDP风险的风险溢价；3)对利率IR风险的敏感度乘以IR风险溢价。根据资本资产定价模型：多因素证券市场线E(r)=rf+β[E(rM)-rf]（6-11）若以RPM来表示市场组合的风险溢价，那么式（6-11）可以变换为：E(r)=rf+βRPM(6-12)(6-13)式中βGDP表示证券收益对不可预测的GDP增长的敏感度，RPGDP指和GDP相关的一个单位风险溢价。显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或CAMP更丰富多彩的方法来处理风险补偿。IRIRGDPGDPfRPRPrrE例：多因素证券市场线上例中，东北航空公司GDP的β为1.2，利率的β为-0.3，假设GDP单位风险的风险溢价为6%，利率单位风险的风险溢价为-7%，假设无风险利率为4%，公司股票的收益率β是多少呢？4.0%无风险利率+1.2*6%+GDP风险的风险溢价+(-.3)*(-7%)+利率风险的风险溢价总计：13.3%总收益用（10-5）式计算的结果：E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%例题假定F1与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所有的股票都有独立的企业特有(风险)因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。资产组合F1的贝塔值F2的贝塔值期望收益率A1.52.031B2.2-0.227在这个经济体系中，试计算期望收益-贝塔的关系如何？12211122Weneedtofindtheriskpremium(RP)forearhofthetwofactors:[()-][()-]Inordertodoso,wesolvethefollowingsys6-13()[()-][()-]pfpfpfRPErrandRPErrffErrErrErr解：公式显示121212temoftwoequations,twounknowns:316(1.5)(2.0)276(2.2)(-0.2)Thesolutiontothissetofequationis:10%5%Thus,theexpectedreturn-betarelatiRPRPRPRPRPandRP12onshipis:()6%(10%)(5%)ppErp套利，利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为称为套利。粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利过程中所构造的投资组合就被称为套利组合。具体来说，套利机会可以分为两类，第一类套利我们又称为强套利（StrongArbitrage），它是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益。第二节套利与套利组合14套利的特点是：1）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润；2）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。套利定价理论的三个基本假设：1）因素模型能描述证券收益；2）市场有足够多的证券来分散非系统风险；3）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。套利定价理论简介罗斯（Ross，1976）给出了一个以无风险套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（ArbitragePricingTheory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（TheLawofOnePrice），即两种风险－收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。套利与均衡套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均衡价格关系上存在重要区别：一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均衡价格得到恢复；APT理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。套利组合套利组合：与CAPM相比，APT的假设条件少，使用比较方便。一个套利组合只要满足三个条件：①套利组合要求投资者不追加资金。用Xi表示持有证券i的金额和权重的变化，Xi可正可负。即X1+X2+X3+….+Xn=0；②套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险；β1X1+β2X2+β3X3+….+βnXn=0③套利组合的预期收益率大于零。r1X1+r2X2+r3X3+….+rnXn0例6—1假设经济中有A、B、C、D四只股票，每个股票在一期时的收益受到一期时的通货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股票在不同经济形势下的收益状况：假设每种经济形势发生的概率都等于25％，而且在零期每种股票的价格都等于1元，那么在这种价格水平下，市场是否存在套利组合？（p115)二、套利的几何意义图6-1在阴影区域的投资组合价格为负图6-2两个证券在不同状态下的收益状况图6-3不存在套利机会的情况图6-4存在第二类套利机会的市场图6-5存在强套利机会的市场假设单因素套利模型成立，3个充分分散的股票组合有关数据如下：股票期望收益率（%）贝塔系数A101B92/3C40根据以上数据，该组合是否具有套利机会？投资者应如何制定和实施套利策略？例题（构建套利组合），即可完成套利。万元的，买进万元的、万的组合，方法为卖空所以，可以构建出套利该套利组合具有正收益由于时，所以，当由于时，故：当则有设；；：套利组合的约束条件为C15B5A1000015.0)05.0(04.015.009.0)1.0(1.0xrxrxr05.0x,15.0x,1.0x00015.005.004.0)15.0(09.01.01.0xrxrxr05.0x,15.0x,1.0x15.01.005.01.0xx05.0049.0x0067.0x321.00x0)1.0x(321.010x)1.0x(1.01.0xx:,1.0x0xrxrxr0xxx0xxxccbbaacbaccbbaacbacbcccccccbacbaccbbaaccbbaacba三、一价定律、价格的正定性与无套利一价定律（LawofOnePrice）是指对于任意两个投资组合，如果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券其价格也必定等于零。当市场中不存在套利机会时，一价定律必然得到满足，否则可以通过卖空高价证券然后买入低价且有相同收益的证券进行套利。无套利成立所需的另外一个条件是所有在未来每种状态下都有正收益的投资组合其价格都要大于零。定理6—1当价格函数同时满足一价定律和严格正定性的时候，市场是无套利的，反之亦然。第一，套利行为是使市场达到有效的一个重要手段。第二，套利限制（LimitofArbitrage）基本面风险（FundamentalRisk）噪音交易者风险（NoiseTraderRisk）某些套利的执行成本过高（ImplementationCost）假设投资者拥有1、２、３三种证券，投资者拥有的可用来投资的资产价值为120万元。每个投资者都认为这三种证券的期望收益率和因素敏感性为：iriβi证券１１５％０.9证券２２１％３.0证券３１２％１.8现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到均衡，为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发生什么样的变化呢？例题要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而收益率大于零，则称这种证券组合为套利证券组合。如果上面三种证券能形成套利证券组合，说明还有套利机会，市场还未达到均衡。设Xi代表持有第i种证券的改变量（占投资者原有资产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合的定义，套利证券组合必须符合以下三个条件：000332211332211321rXrXrXXbXbXbXXX仅仅满足等式(1)，（2）的解有无穷多个，我们任意令X1=0.1，可解得X2=0.075，X3=-0.175，再代入（3）式得：15%×0.1+21%×0.075+12%×(-0.175)=0.975%0可见存在套利机会。如果投资者用卖掉证券3的资金120×0.175=21万去买入证券1、2各为120ⅹ0.1=12万和120×0.075=9万就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风险足够小，可以忽略）的情况下获