第6章套利定价理论APT1

2006年@贺莉萍投资学第7章第六章套利定价理论（APT）第一节套利的概念及无套利法则罗斯简介罗斯,哈佛大学经济学博士,曾任美国金融学会主席，现任罗尔－罗斯资产管理公司总裁。罗斯研究过许多重大课题，在APT、期权定价理论、利率的期限结构等方面作出过突出贡献。他的关于风险和套利的思想已成为许多投资公司的基本理念。一、APT的提出1976年，罗斯发表论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的定价模型—APT。APT用无套利法则定义均衡，且所需假设比CAPM少二、什么是套利？APT是建立在一个很重要的概念--套利(Arbitrage)之上的。套利：是一个经济学术语。指利用资产定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为。套利的一个重要特点是无风险性，因此存续时间很短。三、无套利法则、无套利均衡一价法则和等值等价法则统称为无套利法则。无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法“一价法则”“等值等价法则”两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售，否则会出现套利机会APT的基本原理：由无套利原则，在因素模型下，具相同因素敏感性的资产（或组合），应提供相同的期望收益率。否则，“准套利”机会便产生,投资者必将利用这一机会，而他们的行动将最终使套利机会消失，均衡价格得以形成。——APT逻辑核心。四、APT的基本原理五、APT的基本假设市场是有效的投资者追求效用最大化（套利）不必对投资者风险偏好作假设？资产回报可用因素模型表示市场处于均衡状态资产数量众多随机误差项用来衡量收益中的非系统风险部分，它与所有因素及其他证券的误差项之间彼此不相关。2006年@贺莉萍投资学第7章第二节单因素和多因素APT模型罗斯在提出APT时，首先考察的是单因素模型。APT假设证券回报可用预期到的回报和未预期到的回报两部分来解释，构成了一个特殊的因素模型。iiiirrbfe共同因素对其期望值的偏离预期的回报一、单因素模型二、多因素模型例：设某证券收益受通胀率、利息率和GDP增长率等系统风险因素的影响：……iiiiiefbfbrr2211三、构建套利组合据APT，投资者会尽力发现构造套利组合的可能，以便在不增加风险的情况下提高回报率。套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：零投资：不需要追加任何额外投资无风险正收益：套利组合的期望收益大于零当市场达到均衡时，套利组合的预期收益为0用数学表示就是：例：存在三只证券时如何创造套利机会？证券价格情形1的回报情形2的回报A7050100B6030120C8038112三只证券A、B、C能以表中的价格在当前购买，且从现在起1年内每只证券只能产生情形1和情形2这两种回报之一。构造一个包含A和B的投资组合，它将与证券C在情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB分别表示其投资比例。则两种情形下的回报如下：情形1：50WA+30WB=38情形2：100WA+120WB=112联立两等式可解出：WA=0.4WB=0.6投资组合（A+B）的单位成本0.4×70+0.6×60=64；证券C单位成本为80投资者花64元就获得了与证券C相同的回报。设计套利机会：按0.4和0.6的比例买入A和B并卖空C。套利结果如下图，其中组合的价值是100万元，卖空的C也是100万元情形1和情形2，都在没有风险的情况下获利了。这样的机会将被市场迅速消除？A、B、C的市场价格会发生什么变化？证券投资情形1情形2A4028.571557.1429B6030120C-100-47.5-140总计011.071537.1429四、套利定价模型（APTModel）（一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模型罗斯是基于以下两点来推导APT模型的（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存在无风险套利机会。（2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同因素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：kikiiibbbr...22110套利定价模型可表述为：一种证券的预期收益率与它的影响因素线性相关，截距等于无风险收益率（二）套利定价模型推导假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率为，两个资产是资产i和j，在因素模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）：00()(1)()1[()][()]piijjijjijjrwrbfwrbfwrrrwbbbf若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0jpijbwrbb时,无风险()0ijjwbbb当，即0()0,jpijjijbrrrrbb=01iirb=投资学第7章当套利机会不存在时，市场均衡。那么，当各种证券的期望收益处于什么状态时，没有套利机会呢？当且仅当期望收益率是敏感性的线性函数时，不存在套利机会，这时市场达到均衡。1miiijjjrrbf命题7.1：假设n种资产其收益率受m个因素决定（mn），即其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m，则:01miijjjrb01,,...,j为常数严格证明证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险组合，即wi满足：10nTiiww1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1wbwbwb零投资无风险（7.2）（7.1）即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。如市场有效，则会有套利均衡，则零投资、无风险的组合必然无收益则：,1,...,jjmw1,wbwr这等价于，只要10niiiwrTwr对于任意的W，如果有：根据线性代数知识，而后又产生了应满足的一个正交条件，由于已经满足式（7.1）和（7.2），因此为这m+1个向量的线性组合，即存在一组不全为零的m+1个系数使得：r01,,...,m01122,...,mmr1bbbwr,1,...,jjmw1,wbabCd在向量空间中，如果向量a、b正交于c，如果d也正交与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以由a、b线性表示！0示意图：向量空间五、期望收益与实际收益两式有很多相似之处，但意义完全不同。右式描述的是证券i的期望收益率。左式描述的是i的实际收益率。在因素实际值出现之前，i的期望收益由右式描述。因素的预期变化对收益率的影响已包含在中。当因素实际值公布后，其与预期值的偏离，会导致i的实际收益率偏离其期望收益率。iiiirrbfe01iirb六、APT的意义01miijjjrb若bij＝0，则资产为无风险资产，则01mfifijjjrrrb若bij≠0，则期望回报随着的增加而增大，所以是因子的风险价格。ijbirjif自变量1,1,...,ifirrbin在单因子条件下，有12112,....,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的斜率实际上是因子1的风险价格。结论：当所有证券关于特定因素的风险价格都相等时，则证券之间不存在套利机会。01iribhrlrhlhlbb套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调整。投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有证券都落在套利定价线上。APT定价线投资学第7章套利组合是如何构造的假设某投资者持有A、B、C三种证券，每种证券的市值为100万元，投资者投资于这三种证券的总资金为300万元。每个投资者都认为这三种证券的预期收益和贝塔值如下表:证券预期收益贝塔值A16%0.8B22%2.4C10%1.6投资学第7章套利组合是如何构造的根据套利组合的性质，可以表示成：该方程组有无穷多解，假设，可解得套利组合的收益为：01.022.016.006.14.28.00CBACBACBAxxxxxxxxx1.0Ax1.0Bx2.0Cx%8.1%102.0%221.0%161.0)(prE此种套利方法能够获取套利利润，说明三种证券的定价未达到均衡水平。投资学第7章在使用APT时，有一个对宏观因子的识别问题。不同的研究使用了不同的宏观经济指标。但归纳起来大致有以下三大类：一是总量经济活动参数，如ＧＤＰ或ＧＮＰ的增长率、工业产出、总销售额等；二是通货膨胀率；三是与市场利率有关的参数。一、APT与CAPM的联系两者的研究对象相同——风险资产的定价，应用的核心都是寻找价格被误定的证券。APT与CAPM的一致性当收益率通过单一因素（指数收益率）形成时，APT形成了一种与CAPM模型相似的关系。APT被认为是广义的CAPM模型，是CAPM模型的修正和补充。CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例。二、APT与CAPM的不同APT模型更具体地表现为寻找套利机会。在CAPM中，M居于不可或缺的地位。在实际应用中，只要指数基金等组合即可满足APT，所以APT的适用性更强两种理论市场均衡的得出不同。APT在实际应用上仍存在一些没解决的问题。影响证券收益率的系统因素的数量和性质，实践中因素的选择常具有经验性和随意性。每项因素都要计算相应的贝塔值，所以在对资产估值的实际应用中，CAPM比APT使用得更广泛。APT对证券收益率的解释力更强，但在理论的严密性上却相对不足。三、APT的局限性例子若无风险利率为6％，使用APT确定该股票的均衡收益率。该股票价格是低估还是高估了？解释原因。1.00.50.75fIRcrrE(r)=15％。低于基于风险要求的预期收益率16%，该股票定价过高。6%16%0.52%0.754%16%根据APT，该股票的期望收益率为首先，识别哪些因素对市场起广泛影响然后估计出每个证券对每个因素的敏感度，接下来证实是否存在套利机会并求解出一种可能的套利机会最后，构建套利组合，以获得高于正常的收益。APT的分析思路练习一考虑单因素APT模型。资产组合A的β值为1.2，期望收益率为14%。资产组合B的β值为0.7，期望收益率为9%。无风险收益率为5%。（1）是否存在套利机会？（2）如存在，如何套利？练习二考虑单因素APT模型。股票A和股票B的期望收益率分别为12%和16%，无风险收益率为5%。假设股票B的β值为1.1。如果不存在套利机会，求股票A的β值？练习三考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：要素因子载荷风险溢价（％）通货膨胀1.26行业生产0.58石油价格0.33（a）短期国库券可提供6%的收益率，如市场认为该股票是公平定价的，求出该股票的期望收益率。（b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，计算该股票修正后的期望收益率。要素预期变化率(%)实际变化率（％）通货膨胀54行业生产36石油价格20练习四考虑有两个因素的多因素APT模型。股票A的期望收益率为12.2%，假设股票A对因素1的β值为1.2，对因素2的β值为0.6。因素1的风险溢价为4%，无风险收益率为5%。如果不存在套利机会，求因素2的风险溢价？练习五假定F1和F2为两个独立的经济因素。无风险收益率为6%，并且，所有的股票都有独立的公司特有（风险）因素，其标准差为45%。下面是优化的资产组合。资产组合F1的β值F2的β值期望收益率A1.52.031%B2.2-0.227%在这个经济体系中，试进行期望收益-β关系的分析。