第4讲 期权定价理论

第4讲期权定价理论期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能昀多和昀激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B-S定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。昀早的是法国数学家路易·巴舍利耶（LowisBachelier）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本章共分为三节，第一节将介绍期权的概念和定价问题；第二节将介绍股票期权；第三节中，将详细讲解期权定价的二项式模型和Black-Scholes模型。§1期权概论一、期权产生和发展的背景期权交易早已有之。1973年以前，在美国就存在着场外期权交易。由于这种交易是直接交易，交易费用很高，而且没有相应的期权二级市场，所以期权交易很不活跃。1973年4月26日，芝加哥期权交易所(ChicagoBoardOptionExchange,CBOE)正式挂牌，开始了美国全国性的股票买入期权标准化合约的交易。这一交易一经推出就取得了极大的成功。投资者对期权的兴趣及期权交易量迅速增长，并将原来的股票期权柜台交易淘汰出局。期权市场的建立和完善刺激了期权交易的发展，除此而外，70年代和80年代金融市场，商品市场的剧烈波动使得一些投资者纷纷采用期权战略进行保值，降低投资组合的风险，而另一些投机者则利用期权作为投机工具，希望通过短线操作赚钱，所有这些因素，都促使期权交易迅速发展。期权理论的核心在于合理地定价，Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为四个：预期股票价格、交割成本、股票价格波动幅度和时间。其成功之处在于:第一，提出了风险中性(即无风险偏好)概念，且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数，大大简化了对金融衍生工具价格的分析；第二，该型创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能，创立了新的金融衍生工具——标准期权。布莱克和斯科尔斯1971年提出这一期权定价模型，1973年在《政治经济学报》上得以发表他们的研究成果。一个月后，在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。期权交易诞生后，许多大证券机构和投资银行都运148用Black-Scholes期权定价模型进行交易操作，该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。控制风险是Black-Scholes期权定价模型的重要意义之一。70年代以后，随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快,汇率和利率的波动更加频繁，变动幅度也不断加大，风险增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权，同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。Black-Scholes定价模型指出，在一定条件下，人的集合行为满足一定数学规律。这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的旧观念。通过数学的定量分析，不仅投资者可更好地控制自身交易的风险，更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。由于布莱克的专业是应用数学和物理,昀早从事火箭方面的研究，因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作，堪为“理论联系实际”的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。这对整个经济发展显然是有益的。期权定价理论的产生与完善,对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用.它避免了人们对期权定价的主观盲目性,使交易双方能够进行公平合理的交易。为在风云瞬息万变的市场中经营的人们提供了一条有效的规避风险的途径,使人们敢于承担风险,投资经营,极大的促进了市场经济的发展。并且，期权定价理论向我们提供了一种处理随机现象的思想，为我们处理其他带有随机扰动的问题提供了一种好的思路.二、期权的基本概念1.期权的定义期权分为买入期权（Calloption）和卖出期权（Putoption）。买入期权又称敲入期权、看涨期权，它是给予期权的持有者在给定时间，或在此时间之前的的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权又称敲出期权、看跌期权，它给予其持有者在给定时间，或在此时间之前的任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利。2.期权的要素（1）施权价。期权合同中规定的购入或售出某种资产的价格，称为期权的施权价（exerciseprice或strikingprice）。（2）施权日。期权合同规定的期权的昀后有效日期称为期权的施权日或到期日（maturingdate）。（3）标的资产。期权合同中规定的双方买入或售出的资产为期权的标的资产。（4）期权费。买卖双方购买或出售期权的价格称为期权费或期权的价格（optionpremium）。3.欧式期权、美式期权与帽式期权根据期权对有效期性质规定的不同，期权又可分为欧式期权（European-style）、美式期权（American-style）与帽式期权（Cappedoption）。欧式期权只有在到期日当天或在到期日以前某一规定的时间可以行使权利；美式期权从它一开始购买直至到期日以前任何时刻都可以行使权利；帽式期权只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权利,但如果在到期日之前期权价值已达到了规定的上限(cap),则期权将被自动执行。美国的期权交易一般都是美式期权。4.期权购买者和出售者的权利与义务149任何一个期权都有购买者（buyer）和出售者（writer或seller）。期权的购买者在购买期权时需付出一笔费用给出售者，以获得买卖某种资产的权利。这笔付出的费用，就是期权的价格或期权费。买入期权的购买者付出期权费，获得购买某种资产的权利，但他并没有到期必须购买的义务，他拥有购买或者不购买的选择权。与此相似，卖出期权的购买者或持有者可以出售某种资产，也可以选择不出售。但是，对期权的出售者来说，如果期权的购买者行使其权利，出售者必须向买入期权的持有者提供相应的资产，或接受卖出期权持有者手中的资产。因此，对于期权的购买者而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。5.期权的内在价值(1)期权的内在价值根据上面对期权买卖双方的权利与义务的分析，可以对买入期权和卖出期权的内在价值做一些分析。一个施权价为K，标的资产的市场价格为S的买入期权在执行日的价值为：*cP*0cSKSKPSK−⎧=⎨≤⎩(7-1)或*max(0,)cPS=−K这是因为，若某买入期权的施权价为100元，标的资产的市场价格为110元，则买入期权持有者可执行期权，以100元的价格买入标的资产，再在市场上以110元的价格卖掉，从中可获利10元。若标的资产的市场价格为90元，则买入期权的持有者将不执行期权，买入期权的价值为零，但不会出现其价值为负的情况。同样道理，施权价为K,标的资产市场价格为S的卖出期权在执行日的价值为：*0pSKPKSSK≥⎧=⎨−⎩（7-2）买入期权和卖出期权的上述价值称为期权的内在价值。(2)币内期权、币上期权与币外期权根据期权施权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为币内期权（in-the-money），币上期权（at-the-money）和币外期权（out-of-the-money）。对买入期权来说，如果，则为币内期权；如果SKSK=,为币上期权；如果，为币外期权。对于卖出期权来说，如果SKSK，为币内期权；如果SK=,为币上期权；如果，为币外期权。表7-1对买入期权的类型做了介绍。SK表7-1买入期权的类型买入期权施权价（元）标的股票市价（元）类型A5560币内期权B6060币上期权C6560币外期权三、买入期权与卖出期权平价买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在着一种价格依赖关系，投资者可以凭借其中任意两个构造出另一个金融产品来。它们之间的这种价格依赖关系，称为买入期权与卖150出期权平价（CallandPutOption）。下面我们就以欧式股票期权为对象，考察一下这种平价关系。令：股票市价，S=cP=买入期权市价卖出期权市价，pP=K=施权价施权日股票市价，*S=t=距施权日的时间利息率r=假设投资者现在以价格出售一单位（注意，不是一份期权合约，关于一份期权合约在后面将涉及，这里为了讨论的方便，对问题进行了简化）买入期权，以价格购入一单位（同样到期日，同样施权价）卖出期权，以价格购入一单位期权的标的股票，以利率借入一笔借期为的现金，金额为cPpPSrtrtKe−，以上权利义务在施权日全部结清，不考虑交易成本和税收，投资者的现在和施权日的现金流量如表7-2所示：表7-2投资组合的现金流量施权日现在*SK≤*SK出售买入期权：cP+购买卖出期权：pP−购买股票：S−借入资金：rtKe−+0*KS−*SK−*KS−*S0K−总计00由表7-2可知，不管在施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为0。由于上述投资组合为无风险投资组合，期末价值为0，那么，它的期初价值也必然为0，即：0rtcpPPSKe−−−+=（7-3）将（7-3）移项得：rtcpPPSKe−=+−（7-4）这就是买入卖出期权平价（call-putparity）。同样施权价、同样到期日的买入卖出期权价格必须符合上式，否则，就会出现无风险套利机会，而市场是不会也不应该提供这种机会的。下面举例说明上述情况。如果市场出现下列情况，有效期为三个月，施权价为46的买入期权价格为3，同样的卖出期权价格为2，股票市价为39，利率为5%，根据买入cPpP151卖出期权平价，应该为pP14339463.52rtpcPPSKee−−=−+=−+=（7-5）所以、不符合买入卖出期权平价。如果投资者构造下述投资组合：cPpP•出售一单位买入期权：+3•购买一单位卖出期权：-2•买入一单位股票：-39•按5%借入现金：+39.50————————————————————当前现金收入：+1.50这个投资组合为无风险组合。根据表7-2的分析，我们知道，其期末价值应等于0，即在施权日不管股价如何变化，投资者都不必付出任何财富。而现在，投资者的现金收入为1.50。因此，这个投资者只要构造这个投资组合，可马上得到1.50单位的无风险收益。市场绝不允许出现这样的无风险套利的机会，所以买入期权、卖出期权的价格必须符合买入、卖出期权平价。§2股票期权一、股票期权合约规定买卖双方权利义务的是标准化的期权合同，又称期权合约，在市场上买卖的就是这种标准化的合同。标准化期权合约有标准的标的资产数量，标准的到期日安排和标准的施权价单位。一般股票期权合约规定：一份股票期权合约的标的资产数量为100股股票，即期权的持有者如购买了一份期权合约，则有权以施权价购买或出售该种股票100股。值得指出的是，期权行情表上公布的期权价格均是针对每股股票而言的，由于每份合约的数量是100股股票，所以每份合约的价格是行情表上标明的价格的100倍。昀初，标准化的期权合约规定的到期月份分为三个固定的周期：•一月、四月、七月、十月•二月、五月、八月、十一月•三月、六月、九月、十二月如一月份发行的期权，到期月份只能是四月、七