第七讲期权定价理论(期货与期权市场-北京大学,欧阳良宜)

Dr.Ouyang1期权定价理论欧阳良宜北京大学经济学院Dr.Ouyang2内容提要•7.1影响期权价格的因素•7.2期权价格的上下限•7.3美式看涨期权价格的下限•7.4美式看跌期权价格的下限•7.5期权平价公式•7.6红利的影响Dr.Ouyang37.1影响股票期权价格的因素•现货价格–指交割品在现货市场上的价格。•施权价–指期权约定的交割价格。•期权的期限–指当期到期权失效时点的时间长度。•股票价格的波动性–指股票价格变动的剧烈程度，可以用方差来衡量。•无风险利率–一般用3月期国债利率来代替，指无风险投资的收益或者借贷的成本。•期权有效期内的股票红利–作为交割品的现金流入，红利会引起股票价格下跌。Dr.Ouyang4现货价格与施权价•期权到期时的利润：–看涨期权＝Max（现货价格－施权价，0）–看跌期权＝Max（施权价－现货价格，0）•现货价格–对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越高，因而期权价格就越高。–对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能与数额也就越低，因而期权价格越低。•施权价–对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越低，从而期权价格越低。–对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越高，从而期权价格越高。Dr.Ouyang5到期期限与现货价格的波动性•到期期限–对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一的，因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。–对于美式期权来说，在到期之间随时可以执行期权，因此期限越长意味着选择越多，对期权的拥有者越有利。•价格的波动性–期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同时保留了有利风险。–不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈，盈利的可能性就越高，期权价格也越高。Dr.Ouyang6无风险利率与红利•无风险利率–无风险利率对于期权的所有者来说是资金的成本，或者说是持有现货的机会成本，因此无风险利率越高，预期的现货价格就越高。–但是无风险利率越高，未来利润折现值也越低。–两种因素综合，无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期权价格越低。•红利–作为交割品的现金流，派发红利会导致交割品价格下降。–预期红利支付越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。Dr.Ouyang7套利举例——利率与预期股票价格例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票远期合约价格为11元，目前市场的借贷利率为每年10％，假设该股票在未来三个月内都不派发红利，问套利者将如何操作？答案：当期：从市场上借入10元，买入该股票，同时卖出一份3个月后到期的该股票远期合约3个月后：交割该股票获得11元，偿还贷款本息。套利者的利润＝11-10-(10×10%×3/12)=0.75元Dr.Ouyang87.1影响期权价格的因素因素欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权现货价格＋－＋－施权价－＋－＋期限？？＋＋价格波动性+＋＋＋无风险利率+－＋－预期红利－＋－＋Dr.Ouyang9假设与符号•假设–不存在交易成本。–所有交易盈利都适用同一税率。–投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。•符号–S:当期股票价格–X：施权价格–T：期权到期的时点–t：当期时点–ST：时点T的股票价格–r：无风险利率–σ：股票价格波动的标准差–c,C：欧式及美式看涨期权价值–p,P：欧式及美式看跌期权价值Dr.Ouyang107.2期权价格的上下限•看涨期权上限–看涨期权给予持有人按照一定价格在将来购买特定股票的权利。–看涨期权的价值＝PV（股票价格）－PV（施权价）–所以看涨期权的价值小于当期的股票价值，即c≤S，同时，C≤S•看跌期权上限–看跌期权给予持有人按照一定价格在将来卖出特定股票的权利。–看跌期权的价值＝PV（施权价）－PV（股票价格）–所以看跌期权的价值小于施权价的现值。p≤Xe-r(T-t)，同时，P≤XDr.Ouyang11欧式看涨期权的下限•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份股票。•到期时–如果ST≥X，组合A和组合B的价值都是ST–如果STX，组合A的价值为X，组合B的价值为ST–所以组合A的价值大于组合Bc+Xe-r(T-t)S，从而，cS－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang12示例•假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看涨期权的最低价值是多少？假如该期权目前报价3.00元，你将如何操作进行套利？•答案：该看涨期权的价值下限为S－Xe-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71该期权报价低于价值下限，因此可以采用下列策略套利：卖空该股票，获得20元，买入看涨期权，支出3.00元，并将17元按无风险利率借贷出去到期时如果股票价格超过18元，以18元的价格施行期权，回补空头，利润为17e0.1－18＝0.79；如果股票价格低于18元，则以市价回补空头，利润为17e0.1－股票市价0.79。Dr.Ouyang13欧式看跌期权的下限•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合B：现金Xe-r(T-t)。•到期时–如果STX，组合A和组合B的价值都是X–如果ST≥X，组合A的价值为ST，组合B的价值为X–所以组合A的价值大于组合Bp+SXe-r(T-t)，从而，pXe-r(T-t)－SDr.Ouyang14示例•假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期权的最低价值是多少？假如该期权目前报价1.00元，你将如何操作进行套利？•答案：该看跌期权的价值下限为：Xe-r(T-t)－S＝24e-0.1－20＝1.71该期权目前报价为1.00元，低于价值下限，因此可用下列策略套利：从市场上借入21元，以1.0元买入该期权，以20元购买股票A。一年后，如果股价低于24元，则执行期权获得24元，并偿还贷款本息，利润为：24－21e0.1＝0.79；如果股票价格高过24元，则不执行期权，将股票卖掉并偿还本息，利润为：股价－21e0.10.79。Dr.Ouyang157.3美式看涨期权价格的下限•考虑两个资产组合组合A：一份美式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份股票•假设在时点τ，该期权被执行–组合A的价值为Sτ－X＋Xe-r(T-τ)–组合B的价值为Sτ•如果是在时点T，期权才被执行–组合A的价值为Max(ST,X)–组合B的价值为ST•因此美式看涨期权的最佳执行时间为到期时点。Dr.Ouyang16美式看涨期权的价值•在股票不支付红利的情况下–美式看涨期权的最佳执行时间是到期日–一份美式看涨期权的价值与一份欧式看涨期权价值相等•解释–看涨期权提供了价值保障，而一旦提早施行期权，这份保障的价值就变为0。–越晚施行期权，施权所需的现金越晚付出，从而节省了资金成本。Dr.Ouyang17看涨期权价值与股票价格看涨期权价值股票现货价格施权价Dr.Ouyang187.4美式看跌期权的下限•考虑两个资产组合组合A：一份美式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合B：现金Xe-r(T-t)。•假设在时点τ，该期权被执行–组合A的价值为X–组合B的价值为Xe-r(T-τ)–此时执行期权可能是合理的。•对于一个美式看跌期权来说，P≥X－S≥Xe-r(T-t)－SDr.Ouyang19美式看跌期权价值与股票价格看跌期权价值股票现货价格施权价施权价ADr.Ouyang20欧式看跌期权价值与股票价格看跌期权价值股票现货价格施权价施权价BXe-r(T-t)Dr.Ouyang217.5期权平价公式•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t)组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票•到期时–如果STX，则组合A和组合B的价值均为ST–如果ST≤X，则组合A和组合B的价值均为X•所以组合A与组合B的价值相等，即c＋Xe-r(T-t)＝p＋SDr.Ouyang22示例•某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？•答案：c＋Xe-r(T-t)＝3.00＋20e-0.1＝21.10；p＋S＝20＋1.00＝21.00显然上述数据不符合期权平价公式。Dr.Ouyang23示例（续）•套利策略–卖出一份看涨期权获得3.00元，同时借入资金18.00元–以20元买入一份股票，同时以1元买入一份看跌期权。•到期时：–如果股票价格低于20元，看涨期权不会被执行，执行看跌期权获得20元，偿还贷款本息，利润＝20－18e0.1＝0.11元；–如果股票价格高于20元，看跌期权不被执行，将所持股票用于施权，获得20元，偿还贷款本息，利润＝20－18e0.1＝0.11元。Dr.Ouyang24美式看涨与看跌期权价格关系•条件–美式与欧式看涨期权价值相等，c=C–美式看跌期权价值高于欧式看跌期权价值，Pp–欧式期权平价公式：c+Xe-r(T-t)＝p＋S•推论–Pp＝c+Xe-r(T-t)－S＝C+Xe-r(T-t)－S–C－PS－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang25美式看涨与看跌期权价格关系•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金X组合B：一份美式看跌期权，施权价X，加上一份股票•时点τ–如果组合B执行了看跌期权，那么价值为X–组合A的价值为现金Xer(τ-t)加上看涨期权价值•到期时T–如果ST≤X，组合A的价值为Xer(T-t)，组合B的价值为X–如果STX，组合A的价值为ST－X+Xer(T-t)，组合B的价值为ST•因此组合A的价值大于组合BC+XP+S，从而，S－XC－PDr.Ouyang267.6红利的影响•期权价格上限–对于看涨期权来说，上限仍然是S–对于欧式看跌期权来说，上限仍然是Xe-r(T-t)–对于美式看跌期权来说，上限是X•期权价格下限–欧式看涨期权的下限变为S－D－Xe-r(T-t)–欧式看跌期权的下限变为D＋Xe-r(T-t)－S–美式看涨期权的下限变为不确定，但高于欧式期权–美式看跌期权的下限也是不确定，高于欧式期权Dr.Ouyang277.6红利的影响•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份股票。•到期时–如果ST≥X，组合A和组合B的价值都是Der(T-t)＋ST–如果STX，组合A的价值为Der(T-t)＋X，组合B的价值为Der(T-t)＋ST–所以组合A的价值大于组合Bc+D+Xe-r(T-t)S，从而，cS－D－Xe-r(T-t)Dr.Ouyang28欧式看跌期权的下限•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票组合B：现金D+Xe-r(T-t)。•到期时–如果STX，组合A和组合B的价值都是X+Der(T-t)–如果ST≥X，组合A的价值为ST+Der(T-t)，组合B的价值为X+Der(T-t)–所以组合A的价值大于组合Bp+SD+Xe-r(T-t)，从而，pD+Xe-r(T-t)－SDr.Ouyang29欧式期权平价公式•考虑两个资产组合组合A：一份欧式看涨期权，加上现金D+Xe-r(T-t)组合B：一份欧式看跌期权，加上一份股票•到期时–如果STX，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t)+ST–如果ST≤X，则组合A和组合B的价值均为Der(T-t)+X•所以组合A与组合B的价值相等，即c＋D＋Xe-r(T-t)＝p＋SDr.Ouyang30美式期权价格关系•上限–仍然是C－PS－Xe-r(T-t)•考虑下列资产组合–组合A：一份欧式看涨期权加上现金D+X–组合B：一份美式看跌期权加上一份股票–组合A的价值总是高于组合B，即：S－D－XC－P•综上S－D－XC－PS－Xe-r(T-t)