第九章套利定价模型

第九章套利定价模型第一节套利定价理论第二节套利定价组合第三节套利定价模型第四节套利定价模型进一步研究学习目标通过本章的学习，应该能够达到◆掌握APT定义、假设和观点；◆掌握资本资产定价模型与套利定价模型比较区别；◆理解单因素套利定价模型推导，了解多因素套利定价模型；◆掌握套利定价组合理论，重点掌握构建一个套利定价组合；第一节套利定价理论一、套利定义二、一个套利例子三、APT与CAPM四、APT假设五、APT观点一、套利含义套利（Arbitrage）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！两种套利方法：空间套利和时间套利。套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产（组合）构成的近似套利机会。无套利原则（Non-arbitrageprinciple)：根据一价定律（thelawofoneprice），两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。当违背一价定律时，套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，资产价格恢复一价定律，套利机会消失。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则存在套利机会。请问该如何实现套利以及套利结果。二、一个套利例子解析：套利过程是第一、交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）第二、签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5），用于偿还第一步的1000万本息。第三、按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第三四、1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。三、APT与CAPM建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由StephenRoss在1976年建立的套利定价理论，从另一个角度探讨了资产的定价问题。1.APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于无套利原则和因子模型。2.APT与CAPM假定市场或市场组合一定是有效的组合相反，假设市场不一定是有效的。3.不要求投资者是风险规避的，否则就没有人实施套利机会了。CAPM假定大家都是风险规避者，并且消极策略是有效地。4.CAPM下“同质期望”假设，因此价格发生偏生，将会产生一致行动，导致价格均衡。APT中只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。因此，市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM，而无套利假定下因子模型=APT。四、APT假设第一、证券收益能用因素模型表示，如单因素套利定价模型可以用单因素模型表示；第二、一个有效的市场不允许有持续性的套利机会；第三、投资者是不知足的，只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。第四、所有投资者对各种资产的收益率预期都是一致的；第五、有足够多的证券来分散不同的风险。五、APT主要观点第一、在一个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行为将导致价差的消失；第二、套利行为是市场有效（市场均衡）的决定因素之一；第三、套利是因为一价定理暂时失效，任何影响价格的因素都会成为套利的可能性；第四、由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。第二节套利定价组合一、套利定价组合理论二、构建一个套利定价组合三、套利定价组合运用一个有效地套利组合必须同时满足如下三个条件：条件1：套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自融资组合。条件2：套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险。一、套利定价组理论1230nxxxx02211nnxbxbxb在双因素模型下，条件2表达式为：在多因素模型下，条件2表达式为：条件3：套利组合的预期收益率应大于零，即：01212111nnxbxbxb0222121nnnxbxbxb01212111nnxbxbxb0222121nnnxbxbxb……02211nknkkxbxbxb11220nnxrxrxr（9.1）（9.2）（9.3）111000niiniiiniiiwbwwrConclusion套利组合条件：Conclusion11121()([]=()=()()nniiiiiiiiniiiniiiDwrDwrbfeDwbfDfwb11()0,0nniiiiiiDwrwb若要则要即条件9.2得证。投资者套利活动的目标是使其套利组合预期收益率最大化。而套利组合的预期收益率为：但套利活动要受到条件1、2的约束。根据拉格朗日定理，我们可建立如下函数：式中：λ0，λ1为Lagrange乘数。函数L对X1，X2，…，Xn，λ0，λ1求偏导数，并令其为零，可得：1230nxxxx02211nnxbxbxb二、构建一个套利定价组合1122pnnrxrxrxr112201211122()()()nnnnnMaxLxrxrxrxxxbxbxbx101110Lrbx201220Lrbx……010nnnLrbx1200nLxxx112210nnLbxbxbx左边方程组共有N+2个未知数和N+2个方程，因此可以求出X1，X2，…，Xn的解，用通式表示如下：X=[X1，X2，…，Xn]X=[X1，X2，…，Xn]是投资者无套利下的资产组合。投资者可以通过对变动量为负的证券做空头，对变动量为正的证券做多头，就可以达到无需追加资金，而且不冒风险的情况下获利，即实现套利组合。【例一】假设：某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定这三种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为16%、20%和13%，其对该因素的敏感度(bi)分别为0.9、3.1和1.9。请问该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下提高预期收益率。三、套利定价组合运用解析：令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据套利定价组合条件，我们有：上述两个方程有三个变量，故有多种解。作为其中的一个解，我们令x1=0.1，则可解出x2=0.083,x3=－0.183。这个解预期收益率等于：0.10.16+0.0830.2－0.1830.13=0.881%三、套利定价组合运用1230xxx1230.93.11.90xxx013.02.016.0321xxx由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出274.5万元的第三种股票（等于－0.1831500万元）同时买入150万元第一种股票（等于0.11500万元）和124.5万元第二种股票（等于0.0831500万元）就能使投资组合的预期收益率提高0.881%。【例二】详见教材P142。第三节套利定价模型一、单因素APT二、多因素APT三、另一种APT表示方法00()(1)()1[()][()]piijjijjijjrwrbfwrbfwrrrwbbbf一、单因素APT（一）不包含残差的单因素APT【证明方法一】假设投资者构造这样的资产组合：无风险利率借入1元钱；1元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。设无风险利率λ0，资产i和j的收益率为ri和rj。在单因素APT下，套利组合的收益（忽略残差）为：若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0。jpijbwrbb时,无风险()0ijjwbbb当，即解析：从图9-1可以看出，任何偏离APT资产定价线的证券，其定价都是错误的，从而将给投资者提供组建套利组合的机会。以B点所代表的证券B为例，该点位于APT资产定价线上方，意味着其预期收益率较高，投资者就可以通过卖出S点所表示的证券S，同时买入相同金额的B证券，从而形成套利组合。由于投资者买入证券B，其价格将不断上升，预期收益率将随之下降，直至回到APT资产定价线为止。同时，卖出证券S此时，其价格不断下跌，预期收益将随之上升，直到回到APT资产定价线上。此时证券价格处于均衡状态。图9-1APT资产定价线1,1,...,ifirrbin在单因子条件下，有12112,....,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的斜率实际上是因子1的风险价格。结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。APT的意义【证明方法二】（二）含残差的单因素APT1miiijjjrrbf假设n种资产其收益率m个因子决定（mn），即其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，则01miijjjrb01,,...,j为常数二、多因素APT【证明方法一】证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资且无风险的组合，即wi满足下列条件10nTiiww1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1wbwbwb零投资无风险（9.2）（9.1）即，向量1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（9.1）和（9.2）成立，则蕴含(followed),1,...,jjmw1,wb这等价于，只要10niiiwrTwrwr对于任意的W，必然有又由于非零向量1,b1,b2,…,bm线性无关，则必定落在由1,b1,b2,…,bm张成的向量空间Rm+1（1和bj是该空间的一组基）中，也就是存在一组不全为零的数使得r01,,...,m01122,...,mmr1bbb证毕。理解：必须落在Rm+1空间中，才能必然成立rwr在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以由a、b线性表示！abCd0图9.2向量空间示意图【证明方法二】,()mifmfirrrrrb特别地，当即纯因子组合为市场组合时有11ppfbprr在单因子模型下，考虑一个使的（资产）组合，即，则有1pfrr101,()pfiiffirrrbrrb令即风险价格,则则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)三、APT另一种表达（一）单因素APT在两因子模型下，我们有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在纯因子组合，使得且其期望收益为则11ifrr11fr即（二）两因素APT2122220,1,,iifpbbr同理，若存在纯因子组合，使得其期望收益为，则=从而1122())iffifirrrbrb(22fr这样可将APT的表达式可以改写为第1因子的风险价格第2因子的风险价格在多因子模型下证券的期望收益率等于无风险收益率，加上j个因素的风险补偿（风险价格×风险因子载荷）。资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。01122,...,iiimimrbbb1122()),...,()ffifimfimrrbrbrb（j1,...,jjm其中，为因子（）的纯因子组合的期望收益（三）多因素APT第四节套利定价模型进一步研究一、APT与风险分散化二、APT与CAPM三、因子选择APT的收