第九章期权定价

第九章期权定价2019/10/109.1期权价格的特性一、期权价格的构成期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。１，内在价值内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约所赋予的权利时所能获得的总收益。看涨期权的内在价值为max{S-X,0}看跌期权的内在价值为max{X-S,0}2019/10/10按照有无内在价值，期权可呈现三种状态：实值期权、虚值期权和平价期权。把ＳＸ（SX）时的看涨(跌)期权称为实值期权；把Ｓ＝Ｘ的看涨（跌）期权称为平价期权；把SX（ＳＸ）时的看涨(跌)期权称为虚值期权；2019/10/102，期权的时间价值期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。X时间价值图9.1看涨期权时间价值与|S-X|的关系Ｓ到期日时间价值5432102019/10/103,期权价格与内在价值和时间价值间的关系期权合约的价值是由期权价格决定的，即由内在价值和时间价值所决定。三者之间的关系如图9-2所示。2019/10/10ATM期权费变动曲线OTMITMXIVTVTVTV0标的资产市价S期权费图9.2看涨期权的期权费、内在价值、时间价值的关系2019/10/10二、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2019/10/10（二）期权的有效期对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。2019/10/10但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。2019/10/10（三）标的资产价格的波动率标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。在定价时，波动性只能通过人们对未来的价格波动程度的估计求得，主要有两种方法：历史波动法和隐含波动法。2019/10/10（四）无风险利率从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。从动态的角度看，当无风险利率提高时，看涨期权价格下降，而看跌期权的价格却上升。2019/10/10（五）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。2019/10/10期权价格的影响因素变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产的市价＋－＋－期权协议价格－＋－＋期权的有效期？？＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率？？？？标的资产的收益－＋－＋注：＋：互补关系：－：抵消关系；？：关系不明确。2019/10/10我们首先将本章后面所用到的符号及其含义开列如下：X：期权的执行价格；T：期权的到期时刻；t：现在的时刻；S：标的资产在t时的市场价格；ST：标的资产在T时的市场价格；C：美式看涨期权的价格；c：欧式看涨期权的价格；P：美式看跌期权的价格；p：欧式看跌期权的价格；r：t到T期间的市场无风险利率（连续复利）；三、期权价格的上下限:标的股票价格的波动率，一般用标的股票连续复利收益率的年标准差表示。2019/10/10（一）期权价格的上限1,看涨期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。（下同）SCSc,（9.1）2019/10/102,看跌期权价格的上限美式看跌期权价格（P）的上限为X：其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。XP（9.2）欧式看跌期权的上限为：)(tTrXep（9.3）2019/10/10（二）期权价格的下限1,欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限我们考虑如下两个组合：)(tTrXe组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产2019/10/10由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：),max(XST在T时刻，组合A的价值为：TTSXS),max(由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:SXectTr)()(tTrXeSc或组合B的价值为ST。)0,max()(tTrXeSc（9.4）2019/10/10例题考虑一个不付红利股票的欧式看涨期权，此时股票价格为20元，执行价格为18元，期权价格为3元，距离到期日还有1年，无风险年利率10%。问此时市场存在套利机会吗？如果存在，该如何套利？（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限)0,max()(tTrXeDSc（9.5）)(tTrXeD我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：2019/10/102,欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价值为X。)(tTrXe组合D：金额为的现金2019/10/10由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：)(tTrXeSpSXeptTr)(由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：)0,max()(SXeptTr（9.6）2019/10/10（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限)0,max()(SXeDptTr（9.7）)(tTrXeD我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：2019/10/10四、提前执行美式期权的合理性（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性1,看涨期权由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。因此，C=c（9.8）2019/10/10根据（9.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：]0,max[)(tTrXeSC（9.9）2019/10/10是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。美式看跌期权的下限为：SXP2,看跌期权2019/10/10（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性1,看涨期权由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：]0,max[)(tTrXeDScC2019/10/102,看跌期权由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：)0,max(SXDP2019/10/10所谓看涨期权与看跌期权之间的平价关系是指看涨期权的价格与看跌期权的价格，必须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系上。如果这一关系被打破，则在这两种价格之间，就存在无风险的套利机会，而套利者的套利行为又必将这种不正常的价格关系拉回到正常水平。下面我们仍然用无套利均衡分析法来推导这一关系。五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系2019/10/10（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1，无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合：组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产)(tTrXe组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金2019/10/10在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。如果式（9.10）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（9.10）成立。SpXectTr)(（9.10）2019/10/10套利机会市场情况：某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，股票市场价格为31美元，3个月期无风险年利率为10％，看涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元和2.25美元。策略：1，购买看涨期权；2，出售看跌期权；3，卖空一股股票。26.3230325.01.0)(eXectTr25.333125.2Sp2019/10/10结果：这个策略给出的初始现金流为：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。将这笔资金按无风险利率投资3个月，3个月末本息和为30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3个月末，有如下两种可能：1，如果股票价格大于30美元，该投资者执行看涨期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2019/10/10练习：若同样的市场条件，但3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元和1美元。问是否有套利的机会？若有，如何构筑套利策略？并分析套利结果。2019/10/102.有收益资产欧式期权SpXeDctTr)(（9.11）)(tTrXeD在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：2019/10/10（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系1.无收益资产情形)(tTrXeSPCXS2.有收益资产情形()rTtSDXCPSDXe2019/10/109.2期权的定价原理一，Black-Scholes期权定价公式（一）Black-Scholes模型的假设条件(1)期权的标的资产是股票，其现行价格为S。这种资产可以被自由买卖；(2)期权是欧式看涨期权，在期权有效期内其标的资产不存在现金股利的支付。其协定价格为X，期权期限为T（以年表示）；2019/10/10(3)市场不存在交易成本和税收，所有证券均完全可以分割；(4)市场不存在无风险的套利机会；(5)市场提供了连续交易的机会;(6)存在着一个固定的、无风险的利率，投资者可以以此利率无限制地借入或贷出；(7)期权的标的股票的价格遵循几何布朗运动，呈对数正态分布。2019/10/10这就是著名的Black-Scholes微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。rfSfSSfrStf