相似三角形专题(动点问题)

1相似三角形应用专题（二）动态几何中的相似三角形例题讲解一：如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MNAB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为直角三角形．变式练习1-1：如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当31ABCBCQSS，求ABCBPQSS的值；（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。DNCMBA2变式练习1-2：如图，已知直线l的函数表达式为483yx，且l与x轴，y轴分别交于AB，两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点QP，移动的时间为t秒．（1）求出点AB，的坐标；（2）当t为何值时，APQ△与AOB△相似？（3）求出（2）中当APQ△与AOB△相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．OPAQByxOPAQByx3图-2ADOBC21MN图-1ADBMN12图-3ADOBC21MNO例题讲解二：在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求ACBD的值．4变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）当PC＝2PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．5变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2＋CE2=DE2.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2＋CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.Gyx图2OFEDCBAG图1FEDCBAG图1FEDCBAGyx图2OFEDCBA6例题讲解三：如图１，PMNRt△中，90P，PMPN，8MNcm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令PMNRt△不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图２），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与PMN△重叠部分的面积为y2cm．求y与x之间的函数关系式．ABDPNC(M)２２图２图１ABDPNC(M)２２图２图１7变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC∥，45A∠，10cmAB，4cmCD．等腰直角三角形PMN的斜边10cmMN，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变化为形；（2）设当等腰直角三角形PMN移动(s)x时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为2(cm)y，求y与x之间的函数关系式；（3）当4(s)x时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．A（N）MPDCBANMPDCBA（N）MPDCBANMPDCB8例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？9变式练习4-1：如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD，4cmCD，10cmBCBD，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（05t）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PEAB∥？（2）设PEQ△的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225PEQBCDSS△△？AEDQPBFCAEDQPBFC10变式练习4-2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接．．写出t的值．ACBPQEDACBPQEDACBPQED