第二部分期权定价模型与数值方法

1参考文献1、期权、期货和其它衍生产品，JohnHull，华夏出版社。2、期权定价的数学模型和方法，姜礼尚著，高等教育出版社。3、金融衍生产品定价的数学模型与案例分析，姜礼尚等著，高等教育出版社。4、金融衍生产品定价—数理金融引论，孙建著，中国经济出版社。5、金融衍生工具中的数学，朱波译，西南财经大学出版社。6、Numericalmethodsinfinanceandeconomics—aMATLAB-basedintroduction，PaoloBrandimarte，AJOHNWILEY&SONS,INC.,PUBLICATION7.金融计算教程—MATLAB金融工具箱的应用，张树德编著，清华大学出版社。8、数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著，高等教育出版社。9、数学物理方程讲义，姜礼尚著，高等教育出版社。10、英汉双向金融词典，田文举主编，上海交通大学出版社。11、偏微分方程数值解法，孙志忠编著，科学出版社。2第三部分期权定价模型与数值方法期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black和Scholes通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。一、期权定价基础1.1期权及其有关概念1．期权的定义期权分为买入期权（CallOption）和卖出期权（PutOption）买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。针对有效期规定不同期权又分为欧式期权（EuropeanOption）与美式期权（AmericanOption）3欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。2．期权的要素期权的四个要素：施权价（exerciseprice或strikingprice）；施权日（maturingdata）；标的资产（underlyingasset）；期权费（optionpremium）对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务而没有权利。3．期权的内在价值买入期权在执行日的价值TC为max(,0)TTCSE其中，E为施权价，TS为标的资产的市场价。卖出期权在执行日的价值TP为max(,0)TTPES根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为币内期权（inthemoney）（)ES、币上期权（atthemoney）（)ES和币外期权（outofthemoney）（)ES。１.2买入期权与卖出期权的平价买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格依赖关系，这种依赖关系就称为买入期权、卖出期权平价（callandputparity）。以欧式股票期权为例，考察一下这种平价关系。设S为股票市价，C为买入期权价格，P为卖出期权价格，E为施权价，TS4为施权日股票价格，t为距期权日时间，r为利率（常数）。假设投资者现在以价格C出售一单位买入期权，以价格P购入一单位卖出期权，以S价格购入一单位期权的标的股票，以利率r借入一笔借期为t的现金，金额为rtEe，以上的权利义务在施权日全部结清，不考虑交易成本和税收，投资者的现金和在施权日现金流量如下表：投资者的现金和在施权日现金流量现在实权日TSETSE出售买入期权，C0TES购入卖出期权，-PTES0购入股票，-STSTS借入现金，rtEeEE总计00不管在施权日价格如何变化，该组合的价值为0。由于上述组合为无风险投资组合，期末价值为零。如果假设市场无套利机会，它的期初价值也必然为零，即0rtCPSEe即rtCPSEe这就是买入期权和卖出期权平价。同样施权价、同样到期日的买入期权和卖出期权的价格必须符合上式，否则就会出现套利机会。1.3期权的应用1．应用期权进行保值5保值是指投资者将自身不愿意承担的风险转让给愿意承担这种风险的投资者的行为。期权工具可以用来防范不利的价格波动产生的风险。（1）持股购入看跌期权例如：一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月会下跌，于是就购买其“看跌期权”这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票的价格真的下跌，那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。若股票价格上升,期权就变得分文不值，但投资者只是损失了购买期权的少量期权费，却在股票上获利。（2）买空，购入看涨期权2．应用期权增值3.期权的“或有性”可防范其它金融衍生工具的风险所谓“或有”即是在所期望的情况发生时，行使其对标的物的买权或卖权才有意义。期权的作用一是保险：买者可以一个可能性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入，卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损失；二是转移风险：期权购买者有利则履约，无利则不履约。期权卖者以权利金弥补接受履约的损失，若不需接受履约，则净赚期权费。期权是对标的物的买权或卖权，期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。期权既然是一种权利，那么就有一种时间价值和内涵价值。“有权不用，过期作废”，是指权利的时间价值。有效期时间越长，权利的时间价值越大。“谁的官大，就听谁的”是指权利的内涵价值。“官位”(标的物价格)越高，权利的内涵价值越大。从“官位”看，期权的内涵价值与其标的物价格和价值是相关的，但为非线性相关；而时间价值既与有效期时间的长短有关，也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。所以期权的定价要用到随机过6程和随机微分方程等相当艰深的数学工具，因此非常困难。布莱克—斯科尔斯(Black-Scholes)1971年提出这一期权定价模型,1973年在《政治经济学报》上得以发表他们的研究成果。一个月后,在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。期权交易诞生后,许多大证券机构和投资银行都运用Black-Scholes期权定价模型进行交易操作，该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。其成功之处在于：第一，提出了风险中性(即无风险偏好)概念,且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数，大大简化了对金融衍生工具价格的分析；第二，创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能,创立了新的金融衍生工具——标准期权。70年代以后，随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快，汇率和利率的波动更加频繁，变动幅度也不断加大，风险增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权，同时，也为将数学应用于经济领域，创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。Black-Scholes定价模型指出，在一定条件下，人的集合行为满足一定数学规律。这一论断打破了传统的“人的行为无法定量描述”的旧观念。通过数学的定量分析，不仅投资者可更好地控制自身交易的风险，更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。由于布莱克的专业是应用数学和物理，最早从事火箭方面的研究，因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作，堪为“理论联系实际”的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。这对整个经济发展显然是有益的。为此，1997年诺贝尔经济学奖授予了哈弗大学的R.Merton教授和斯7坦福大学的M.Scholes教授（F.Black已于1995年逝世，未分享到这一殊荣）。二、期权定价方法的理论基础__布朗运动、伊藤引理和Black-Scholes微分方程期权定价的主要研究工具是随机过程的一个分支——随机微分方程。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。伊藤在探讨马尔可夫过程的内部结构时，认为布朗运动(又称维纳过程)是最基本的扩散过程，能够用它来构造出一般的扩散运动。布莱克—斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程：SdZSdtdS这里S表示股票价格，股票预期收益率及波动率均为常数，t代表时间,Z为标准布朗运动：dtdZ，)1,0(~N（标准正态分布）在无交易成本、不分股利的假设下,得出欧式看涨期权价格C应满足如下微分方程(r为无风险利率)：SdZSCdtSSCtCSSCdC)21(2222利用偏微分方程的理论求出的方程解析解，即著名的布莱克—斯科尔斯公式。2．1布朗运动股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。定义1随机过程0),(tt如果满足：8（1）随机过程0),(tt具有正态增量；（2）随机过程0),(tt具有独立增量；（3）0),(tt是一个连续函数；则称0),(tt为布朗运动，也称维纳过程。布朗运动的性质：（1）假设一个小的时间间隔为,tZ为在t时间内维纳过程Z的变化，则，Z=t，)1,0(~N；（2）0][ZEtZVar][~(0,)ZNt划分：0120nttttT，1iiittt，1()()iiizZtZt，011,,,nZZZ相互独立则有，10()(0)niiZTZZ10()(0)0niiEZTZEZ1100()(0)[]nniiiiVarZTZVarZtT下面几幅图片可以帮助我们理解布朗运动的几何意义。由于dtdZ9所以tZ；当0t时dtdZ；通过迭代方法，我们可以产生布朗运动的近似图像当01.0t时，我们通过迭代方法近似的得到了布朗运动的轨迹。可以看出，布朗运动的轨迹确实没有什么规律可言。.定义2设0),(tt为布朗运动，则称bdZadttdx)(为一般化的维纳过程。称a为漂移系数（或漂移率），b为过程)(tx的平均波动率。tbtax并且我们有（1）tatxE)]([，tbtxVar2)]([[]Exat，2[]Varxbt，（2）[()(0)]ExTxaT；2[()(0)]VarxTxbT。在现实生活中,我们用一般化的布朗运动来描述股票价格的变化。影响股票价格变化的因素主要有以下两点：股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者至取10决于布朗运动造成的随机波动。所以，股票价格的变化可以看成是两个力共同决定的。如果我们不考虑Z,则adtdS，即atSS0。这说明股票价格具有线性增长的性质。如果我们考虑Z项在内，则有)(0tbdZatSdS这说明股票价格S在线性增长的同时，还有随机波动的倾向，下图有助于我们形象的理解这一点。00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.2其中，最上边那条随机波动的曲线代表股票价格，斜向上的直线代表不计随机波动影响的股票价格,下面那条随机波动的曲线代表没有线性增长趋势的股票价格的变动（布朗运动）。由此可见，真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成。2.2伊藤引理定义3如果过程Tttx0),(可以表示为dZtxbdttxatdx),(),()(其中