第八章远期和期货的定价

第八章远期和期货的定价第一节远期价格和期货价格的关系第二节无收益资产远期合约的定价第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价第四节支付已知收益率资产远期合约的定价第五节期货价格与现货价格的关系无套利定价法本章采用的定价方法为无套利定价法，这种定价方法的基本思路是：构建两个投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。基本假设本章是在如下假设前提下进行分析的：没有交易费用和税收。市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。远期合约没有违约风险。允许现货卖空行为。当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。符号约定T：远期或期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T－t代表远期和期货合约中以年为单位表示的剩下的时间。S：标的资产在时间t时的价格。ST：标的资产在时间T时的价格。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值。F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率）第一节远期价格和期货价格的关系罗斯等人证明：当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格不相等。至于两者谁高取决于标的资产价格与利率的相关性。（1）当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。（2）当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。（3）远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。（4）此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。第一节远期价格和期货价格的关系在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很低，以致期货和远期价格的差别可以忽略不计。因此在大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。本章以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。第二节无收益资产远期合约的定价为确定无收益资产的远期价格，构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。组合A中的现金按无风险利率进行投资，在T时刻，其金额为K，购买一个单位的标的资产，因此，组合A的终值为一个单位的标的资产。对组合B，由于该资产是无收益资产，在T时刻，仍然为一单位的标的资产。即组合B的终值也是一个单位的标的资产。第二节无收益资产远期合约的定价组合A与组合B的终值相等，则其现值也必然相等:f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）（8.1)公式（8.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。即一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。第二节无收益资产远期合约的定价远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（8.1）式中f=0，则:0=S－Fe-r（T－t）F=Ser（T－t）（8.2）8.2式表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。此时，市场是均衡的，不存在套利机会。这就是无收益资产的现货-远期平价定理（现货期货平价定理）。第二节无收益资产远期合约的定价可以用反证法证明8.2式不成立的情形是不均衡的：KSer（T－t），(KF)即交割价格大于现货价格的终值。在t时刻，套利者按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了K－Ser（T－t）的无风险利润。第二节无收益资产远期合约的定价KSer（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。在t时刻，套利者卖空标的资产，所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为K。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-K的利润。例：假设一年期的贴现债券价格为$960，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为：F=960e0.050.25=$972第二节无收益资产远期合约的定价三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言，从公式（8.2）可知,F=Ser（T－t）rˆrˆ)(***tTrSeF)()(***tTrtTrFeF)(ˆ**TTrFeF第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为I，对黄金、白银来说，I为负值。第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为T-t、本金为I的负债。T时刻的价值：组合A，一单位标的资产，即标的资产在到期日的现货价格。组合B，一单位标的资产在T时刻的收益为Ier（T－t），与组合B中的负债正好相互抵消。可见，在T时刻，组合A与组合B的价值正好相等。第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价在t时刻，这两个组合的价值应相等，即：f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）（8.3)F=(S-I)er(T－t)(8.4)上式表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。可以用反证法来证明公式8.4。如果F(S-I)er（T－t），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（T－t），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)er（T－t）。第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价如果：F(S-I)er（T－t），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（T－t）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（T－t）-F。第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价例：假设黄金现价为每盎司450美元，其存储成本为每盎司2美元/年，在年底支付，无风险年利率为7%。则一年期黄金远期价格为：F=(450-I)e0.071其中,I=-2e-0.071=-1.865一年期黄金的远期价格为：F=(450+1.865)e0.07=484.6美元/盎司二、中长期国债期货的定价中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（8.3）和（8.4）适用于中长期国债期货的定价。在美国，中长期国债期货报价和交割制度较为特殊，使这些公式的运用较为复杂。以下以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债期货。（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系（二）交割券与标准券的转换因子（三）确定交割最合算的债券（四）国债期货价格的确定第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价（一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系1、报价。长期国债期货的报价与现货一样，以美元和1/32美元报出，所报价格是100美元面值债券的价格，合约规模为面值10万美元。因此90—25的报价意味着10万美元合约的报价是90，781.25美元。2、现金价格。报价与购买者所支付的现金价格（CashPrice）是不同的。现金价格与报价的关系为：现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价例：在1999年11月5日，2016年8月15日到期、息票率为12%的长期国债的报价为94—28（即94.875）。每半年付息一次，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天。因此累计利息等于：现金价格为：94.875美元+2.674美元=97.549美元第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价82天102天美元美元674.2184826（二）交割券与标准券的转换因子芝加哥交易所规定，空方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割。由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子。转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。根据转换因子计算空方交割100美元面值的债券应收到的现金：空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的累计利息第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价例：某长期国债息票率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90—00，求空方用该债券交割应收到的现金。计算转换因子：将国债未来所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上再贴现到现在的时点：163.73/(1+0.04)0.5=$160.55扣除3个月的累计利息：3.5美元转换因子=160.55-3.5=157.05美元空方收到的现金=1000((90*1.5705)+3.5)=144845美元第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价363607100163.731.041.04ii美元（三）确定交割最合算的债券空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那种债券。交割差距=债券报价+累计利息-[（期货报价转换因子）+累计利息]=债券报价-（期货报价转换因子）第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价例：假设可供空头选择用于