第六章 black-schols期权定价模型

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型一、证券价格的运动的规律（一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。（二）布朗运动1.标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足（6.1）：（6.1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。tztztztz特征2：对于任何两个不同时间间隔，和的值相互独立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：（6.2）(6.2)式均值为0，方差为（是相互独立的）当时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（6.3）0ttztzTzNii1)0()(dtdzTi2.普通布朗运动我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：（6.4）其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。bdzadtdx(三)伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(6.4)得到伊藤过程（ItoProcess）：(6.5）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。dztxbdttxadx),(),((四)证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示：两边同除以S得：22SSdzSdtdSdzdtSdS（6.6）从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见，也具有正态分布特征(6.7)ttSS),(~2ttNSSSStt例6.1设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周(0.0192年)后该股票价格变化值的概率分布。0.200.18SttS1000.003840.02490.3842.49S∆S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样。(五)伊藤引理若变量S遵循伊藤过程，则变量s和t的函数f将遵循如下过程：根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：2221()2ffffdfabdtbdzStSSSdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS由于（6.8）（6.9）(6.10)伊藤引理证明：两个变量的函数的泰勒展开式为：22222221122ffffffStSSttStSStt由前述：SStSt由此可以推出：2222()SStot因为服从标准正态分布，有，由此可以推出。如果我们求的方差，有()0()1EVar和2()1E2t22222()()(())VarttEE所以，当时，是高阶小量。这意味着，当时，。0t2()Vart0t2()0Vart即将变成不再是随机变量。而，则有，那么。所以有2t2()1E212tdt222dSSdt将这个结果代入上面泰勒展开式，略去二阶以上（包括二阶）的高阶小量，就得到222212fffdfdSdtSdtStS再把代入，就有dSSdtSdz222212ffffdfSSdtSdzStSS这即为伊藤引理的结果。返回(六)证券价格自然对数变化过程令，由于代入式（6.10）:（6.11）证券价格的对数遵循普通布朗运动,且：lnfS22211,,0fffSSSSt]),)([(~lnln22tTtTNSStTdzdtSddf)(ln22]),)(([ln~ln22tTtTSNStT)]())(2exp[()())(2(|ln)2(ln222tTtTtTTtTtTtTtzztTSSzztTSdzdtSd上式说明股价从t时刻开始，将以指数形式函数的比率成长，其中一部分的成长是随时间而变，另一部分呈现随机变动。例6.2设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例6.3请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？二、布莱克——舒尔斯微分方程（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：则：（6.12）SdzSdtdSzStSS假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：（6.13）为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：(6.15)SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff（6.14）在时间后：（6.16）将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得：（6.17）在没有套利机会的条件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得：tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222布莱克——舒尔斯微分分程化简为：(6.18)这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。rfSfSSfrStf222221（二）风险中性定价原理假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。例子假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。该看涨期权的价值应为0.31元在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以得出该期权的价值：0.10.25119110ePP（）0.10.25(0.50.626600.3734)0.31fe元这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10％，则股票上升的概率P可以通过下式来求：0.10.25101191ePP62.66%P又如，现实世界中股票的预期收益率为15％，则股票的上升概率可以通过下式来求：P=69.11％可见：投资者厌恶风险程度股票预期收益率股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。0.150.25101191ePP（三）布莱克——舒尔斯期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其现值为（6.19）对数股票价格的分布为：（6.20）对式（6.19）求解：（6.21）[max(,0)]TESE()[max(,0)]rTtTceESE]),)(2([ln~ln2tTtTrSNST()12()()rTtcSNdEeNd21221ln(/)(/2)()ln(/)(/2)()SErTtdTtSErTtddTtTt其中，我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：N(d2)是在风险中性世界中ST大于E的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)EN(d2)是E的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。其次，是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)EN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-nothingcalloption）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothingoption）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)EN(d2)是E份现金或无价值看涨期权空头的价值。)(1dN在标的资产无收益情况下，由于c（欧式）=C（美式），因此式（6.21）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：（6.22）由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。()21()()rTtpEeNdSNd（四）有收益资产的期权定价公式1.有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。)(tTqSe对于欧式期货期权，其定价公式为：（6.23）（6.24）其中：()12[()()]rTtceFNdENd()21[()()]rTtpeENdFNd21221ln(/)2()ln(/)2()FETtdTtFETtddTtTt例6.4假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。3.05美分。2.有收益资产美式期权的定价(1)美式看涨期权当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在t提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和t时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者