第四章简单期权的离散模型定价

第四章简单期权的离散模型定价金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.2单时期期权二叉树模型基本假定：期末时期的资产股票的价格只有两种可能，即上涨(u)或下跌(d)CdSSuSdCCu期末时期股票价格期末时期期权价格金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.3单时期期权二叉树模型基本思想：通过做多或做空操作使股票和期权形成一个组合使得不论股票价格如何变化，这个组合的价值在期末是固定不变的，那么这个组合的收益率一定等于无风险收益率，这样就可以为期权确定价格金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.4单时期期权二叉树模型数学推导：期初：卖出1份看涨期权、买入h股股票，此时组合的价值为期末：股票价格上涨时组合的价值股票价格下跌时组合的价值*VhSC*uuVhSuC*ddVhSdC金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.5单时期期权二叉树模型数学推导：组合在期末的价值是固定的，即可得：h称作套期保值率h含义：为对冲风险构建一个无风险组合，在这个无风险组合中每做空一份看涨期权所需要购买的股票的数量。udVVudCChSuSd金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.6单时期期权二叉树模型数学推导：使用复利方法贴现，期权定价公式为其中r为无风险利率1*(1)*(1)udCpCpCr1rdpud金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.7单时期期权二叉树模型数学推导：使用连续复利方法贴现，期权定价公式为其中*(1)*rudCepCpCredpud金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.8单时期期权二叉树模型结论：期权的价格只与股票价格的波动率相关，而与股票的期望收益率无关期权的价格与投资者的风险偏好无关期权价格与股票价格上涨和下跌的概率无关金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.9举例：股票当前价格为100,无风险利率为r=0.05u=1.2d=0.9欧式看涨期权的执行价格K=100资产组合期初价值期末价值股价S=120股价S=90买入h股股票+h*100+h*120+h*90卖出1份期权-C-200投资组合的净价值h*100-Ch*120-20h*90-0金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.10举例：期末：即：得：期初组合的价值：期末组合的价值：期权价格：udVV*12020*900hh0.6667h66.67VC60udVV(66.67)*(10.05)60CC=9.53金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.11期权偏离均衡价格的套利上例中，期权的均衡价格为9.53若c=10，如何套利？资产组合期初成本期末价值股价S=120股价S=90买入0.6667股股票-66.678060卖出1份期权10-200以利率0.05借入无风险资产56.7-59.535-59.535投资组合的净价值00.4650.465金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.12期权偏离均衡价格的套利若c=9，如何套利？资产组合期初成本期末价值股价S=120股价S=90卖出0.6667股股票66.67-80-60买入1份期权-9200以利率0.05借出无风险资产-57.760.58560.585投资组合的净价值00.5850.585金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.13两时期二叉树定价模型扩展后期末时股票的价格共有三种可能对应的期权价格也有三种可能欧式期权不能提前执行,采用倒推法，先求得和，再求得CSuuSudSddCuuCudCdduCdC金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.14两时期二叉树定价模型1*(1)*1uuuudCpCpCr1*(1)*1dudddCpCpCr复利：2221*2(1)*(1)*(1)uuudddCpCppCpCr连续复利：222*2(1)*(1)*ruuudddCepCppCpC注：期权的价格就可以看作是其期末价格期望值的贴现值金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.15Su=120Sd=90S=100接上例股票的三个月的看涨期权的执行价为21美元Suu=144Sud=108Sdd=81C=13.605Cu=24.762Cd=3.810Cuu=44Cud=8Cdd=0金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.16接上例套期保值率并不是一成不变的，是个动态的过程套期保值的动态过程4481144108uuuduCChSuuSud800.44410890uddddCChSudSdd24.76193.80950.69812090udCChSuSd金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.17多时期二叉树定价模型定价公式推导当股票的价格为时,对应的期权价格为，发生的概率为在t=n时期权价格的期望值为：jnjSud(,0)jnjMaxSudK(1)jjnjnCpp0(1)*(,0)njjnjjnjnjCppMaxSudK金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.18多时期二叉树定价模型定价公式推导（续）复利，r代表每一期的无风险利率：连续复利：这就是多时期欧式看涨期权的二叉树定价公式01(1)*(,0)(1)njjnjjnjnnjCCppMaxSudKr*0(1)*(,0)nrntjjnjjnjnjCeCppMaxSudK金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.19TherelationshipamongSu,Sdandr?多时期二叉树定价模型同理，欧式看跌期权的二叉树定价公式：01(1)*(,0)(1)njjnjjnjnnjPCppMaxKSudr复利：连续复利：*0(1)*(,0)nrntjjnjjnjnjPeCppMaxKSud金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.20定价公式中u和d的确定现实中的股票价格可以用几何布朗运动来很好的模拟，在无套利市场中有如下的关系式：时间间隔很小时，股票价格的方差：在风险中性的情况下还可以通过来得到股票价格的方差：关系式：22~((),)2tLnSLnSNrttt222()(1)rtttDSSee(1)rtSepSupSd222()()(1)()[(1)]tDSpSupSdpSupSd1ud22()()()DxExEx金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.21定价公式中u和d的确定联立以上四式得：tuetdertedpud金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.22无风险利率r是时间t的函数利率的期限结构并不总是在一条水平线上，而是随着时间的增加不断的上升或者下降，即是时间t的函数r(t)不会影响股票的二叉树图形的结构风险中性概率p会随着r(t)的变化而变化或者1()rtdpud()rttedpud金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.23美式看涨期权的二叉树定价模型美式期权可以在合约到期之前任何时间执行美式期权定价方法——倒推法注意：由于存在提前执行的可能性，我们要在每个节点处比较立即执行所得到的价值和继续持有所得到的回溯价格的大小关系，选取二者中较大的值作为节点处期权的价格金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.24将时期数扩展到n期i表示时期t=i,j表示股票价格上升的次数股票在(i,j)处的价格为股票在(i,j)处的价格为若期权在节点（i,j）提前执行，期权价格为：若期权在节点（i,j）继续持有，期权价格为：美式看涨期权的二叉树定价模型jijSud(,)ijC(,)jijijCSudK(,)(1,1)(1,)1[*(1)*]1ijijijCpCpCr金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.25美式看涨期权的二叉树定价模型比较二者的大小，确定期权在节点（i,j）处的价格复利：连续复利：(,)(1,1)(1,)1{,[*(1)*]}(1)jijijijijiCMaxSudKpCpCr*(,)(1,1)(1,){,[*(1)*]}jijritijijijCMaxSudKepCpC金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.26美式看跌期权的二叉树定价模型：复利：连续复利：(,)(1,1)(1,)1{,[*(1)*]}(1)jijijijijiPMaxKSudpPpPr*(,)(1,1)(1,){,[*(1)*]}jijritijijijPMaxKSudepPpP金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.27举例：股票的初始价格S=100u=1.15，d=0.9时期数T=2无风险利率r=0.02金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.28Su=115Sd=90S=100接上例Suu=132.25Sud=103.5Sdd=81C=6.79（0）Cu=14.85（15）Cd=1.37（0）Cuu=32.25Cud=3.5Cdd=0美式看涨期权的执行价格K=100金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.29有红利支付的欧式看涨期权支付红利的两种方法：按固定比例a（红利占股票价格的比例）支付按固定红利数额D进行支付金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.30按固定比例支付红利二叉树的结构并没有发生变化，节点数也没有增加金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.31举例：股票的初始价格为S=100u=1.1，d=0.9市场无风险利率为r=0.05欧式看涨期权的执行价格K=100红利支付比例a=0.05，并在t=2期期末时支付金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.32接上例股票价格的三时期二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.33接上例该股票对应的期权的二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.34按固定数额支付红利在支付红利之后二叉树的结构将发生变化在之后的时期中二叉树不能重叠在一起，使得节点数大大增加支付固定红利股票的价格的三时期二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.35按固定数额支付红利在支付红利之后二叉树的结构将发生变化金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.36按固定数额支付红利假设n期的模型中红利支付日只有一个,并且当时期，假定股票的价格为当时期，将红利的贴现值从股价中剔除就得到价格其中，D为红利额，S指不支付红利的股票价格(1)ktktit*SSit*()ritSSDe金融工程应用技术讲义,Chapter4,Copyright©4.37按固定数额支付红利先假定为的标准差，并且是固定不变的将模拟的股票价格加上红利的贴现值就可以得到新的股票价格当时，结点（i,j）处股