衍生品定价的基本方法

衍生品基本定价方法套利定价模型(APT)无套利分析与定价法风险中性分析与定价法状态价格分析与定价技术积木分析法衍生证券定价的基本假设假设一：市场不存在摩擦假设二：市场参与者不承担对手风险假设三：市场是完全竞争的假设四：市场参与者厌恶风险，希望财富越多越好假设五：市场不存在无风险套利机会绝对定价法与相对定价法(衍生工具、衍生品；衍生工具定价、衍生品定价；金融工具与金融产品；产品=工具+服务)绝对定价法：运用恰当的贴现率将未来现金流贴现加总（股票和债券）;直观易理解、末来现金流和贴现率难以确定（如：股票）相对定价法：利用标的资产价格与衍生证券价格之间的内在关系，直接根据标的资产价格求出衍生证券价格（衍生证券；如利率平价理论；B-L期权定价）绝对定价法具有一般性，易于理解，但难以应用；相对定价法则易于实现，贴近市场，一般仅适用于衍生证券相对定价法之1：无套利定价法套利：利用一个或多个市场存在的价格差异，在不冒任何损失风险且无需自有资金的情况下获取利润的行为。严格套利的三大特征：无风险/复制/零投资在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均衡，此时得到的价格即为无套利价格。无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。（详见：郑振龙：金融新思维）如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。无套利定价法案例1无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格或者为11元，或者为9元。假设现在的无风险年利率为10%，如何为一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权定价？为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式：11Δ-0.5(11-10.5)=9Δ;Δ=0.25;该组价值为:2.25该无风险组合的现值应为：2.25e-0.1*0.25=2.19元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：10*0.25-f=2.19f=0.31元(f为该期权价格)案例2例子：假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？可以套利(e0.10×0.5×er×0.5=e0.12r=14%11%借短贷长)套利过程是：第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（1000e0.12×1），并用1110万元（1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）无套利定价方法的主要特征无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合（自融资组合）无套利定价法的应用练习：股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？解答由于因而存在套利机会。套利方法为：卖空股票(先卖后买)，买入看涨期权，卖出看跌期权(思考：此组合功能?)，将所有现金投资于无风险利率，到期无论价格如何，都需要用40元执行价格买入股票，对冲股票空头头寸，从而获得的无风险利润。思考：若将题中条件“欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元”改为“13”，如何？详见：复习题P310%*0.55040*11.957rTtSXeeCP无套利定价法的应用1、金融工具的模仿。即通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权（协议价格相等）来模仿股票的盈亏(买入买权且卖出卖权)。即：上述组合无论到期时市价如何其市值均为：St-X-c+p；若期权费相等，则为：St-X（请推导）注意：单个期权交易盈亏状况及其组合2、金融工具的合成金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同价值。例如：合成股票的构成是：一个看涨期权（calloption）的多头，一个看跌期权（putoption）的空头和无风险债券(买入远期债券,价格为协议价X；看涨、看跌期权协议价均为X)SS=max(0,ST-X)-max(0,X-ST)+X=ST-X+X=STS=c-p+Xe-r(T-t)（无套利情况下即得看涨、看跌期权平价公式）t,ST,ST证明：c-S-p+Xe-r(T-t)=0，欧式看涨（c）、看跌期权（p）间平价公式S：标的现价；X：协议价；r：无风险利率；p：欧式看跌期价；c：欧式看涨期权价。若c-S-p+Xe-r(T-t)＞0构造组合A：借入S+（p-c）现金构造组合B：以上述资金购买标的物资产、卖出看涨期权且买入看跌期权以下自证、、、相对定价法之2：风险中性定价法在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。例子假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以就出该期权的价值：0.10.25119110ePP（）0.10.25(0.50.626600.3734)0.31fe元一般情况下假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。无套利定价法的思路首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。无套利定价法的思路如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-r（T-t）,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-r(T-t)，所以1(1)rTudfePfPf（）()rTtedPud风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得)[(1)]rTtSeSuPSdP（()rTtedPud(1)rTudfePfPf状态价格定价技术状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。例子：A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q）。我们现在来构造两个基本证券。基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是πu，基本证券2的价格是πd。续：购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流PA=πuuPA+πddPA或1=πuu+πdd由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r续：所以只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。()()11rTtrTtuduedeudud，状态价格定价法的应用假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是S0，期末价值是S1，这里S1只可能取两个值：一是S1=Su=uS0,u＞1,二是S1=Sd=dS0,d＜1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是NS0-B，到了期末，该组合的价值V是NS1-RB，R是利率因子。对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=Su,则V=Vu=NSu-RB，如果S1=Sd,则V=Vd=NSd-RB。见下页：续：简图：SuS0Sd()()e,e.uurTtuddrTtdVNSBcVNSBc续：所以由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有NS0-B=c0,把N和B代入本式中，得到看涨期权的价值公式c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。0()()()()/()(()/[()],()/[()]()()/()udududduududrTtddrTtudrTtNccSSccudSBScScSSeNScedcuceud积木分析法积木分析法也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。如：单个期权：买入买权、买入卖权；卖出买权、卖出卖权期权、期货组合：期货做多+买入卖权；期货做空+买入卖权外汇结构性存款：外汇“三宝”；汇得盈；汇利丰等投融资：投融资+期权（或互换）等