远期与期货定价

1远期与期货定价第6章DeterminationofForwardandFuturesPrices2第一节利率与连续复利率一、单利对利息不再计算利息，计算公式是：I=AnrF=A(1+nr)式中，I为利息额，A为本金现值，r为每期利率，n为计息期数，F为本利和(终值)(1+r)n也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A以利率r投资了n期，投资的终值是：二、复利n)r(AF13nRAF)1(mnmRA)1(三、连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，则式说明一年复利一次的计算，其中A为投资额(本金现值)。设一年内计m次复利，年利率为R，投资期限为n年，则终值为：我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为2期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率(每年复利n次的年利率)。4终值为:mnmRm)1(limRnAemnmRAm)1(lim如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利(continuouscompounding)：若A=100,R＝0.10,n＝1，以连续复利计终值为100e0.1＝110.52元。5四、利率之间的转换11ln/mRmmccemRmRmRmnmnRmRAAec)1(在计息利率(名义)相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息利率最小。如果Rc是连续复利的利率，Rm为与之等价每年计m次复利的利率(以年利率表示)，则有：所以6由此得出：nmmnmmmRAmRA2211)1()1(212/1]1)1[(2112mmRRmmmm如果分别为m1次与m2次复利的频率，则有：7根据题意已知，m=2，Rm＝0.10，Rc＝2ln(1+0.1/2)＝0.09758，即连续复利的年息应为9.758％例：某特定金额的年息为10%，每半年复利一次(半年计息一次)，求一个等价的连续复利的利率。例：假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息(m＝1)的等价年利率为：0833.0108.0eRm即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底要支付83.3元的利息。8五、现值与贴现现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。(一)现值按贴现率r计算，n期后得到的金额F的现值计算公式为：nrFA)1/(nr)1/(1被称作现值系数。(二)连续复利现值在连续复利现值的情况下，按贴现率r计算，n年（期）后得到F元的现值计算公式为：rnFeA9第二节投资性商品的远期/期货合约定价•所谓投资性商品(Investmentassets)系指投资者持有的、用于投资目的的商品(如股票、债券、黄金、白银等)；•消费性商品（Consumptionassets）则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。10忽略远期与期货价格的区别。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适应期货价格的分析。符号的界定：T：远期合约至到期时的时间间隔(年)；S：远期合约标的资产的即期价格；F：远期价格；K：远期合约中的交割价格；f：持有远期合约多头的合约价值r：无风险利率一、假设与符号界定•1.交易费用为零；•2.所有交易的净利润适用同一税率；•3.参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；•4.当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动。11二、不支付收益的投资资产远期价格最基本、最易理解的类型。例如期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产。12当已知连续复利时TrSF)1(rTSeF1.引例若黄金的当前价格为$1500，一年后到期的黄金远期合约价格为$1600。一年期无风险利率为4%(年复利率)，不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为$1520，此时是否存在套利机会？结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为S，到期期限为T年的远期价格为F，无风险利率（年复利利率）为r，则有：132.一般分析资产即期价格S，远期合约到期时间T，r是无风险利率(连续复利)，F为远期价格。构造如下两个投资组合：投资组合A：即期购买1单位资产投资组合B：1单位标的资产的远期合约多头+数量为Fe-rT的现金组合B中，现金以无风险利率投资，时间T后其价值为F，正好用来交割合约购买1单位资产。组合B实际上是通过合约多头和现金组合复制了组合A中的1单位资产。在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：rTFeSrTSeF14Anotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0attimeT.S0mustthereforeequalthepresentvalueofF0;thatisS0=F0e-rT,orequivalentlyF0=S0erT153.套利分析假定FSerT，投资者可以：(1)以无风险利率r即期借入S，期限为T，并购买1单位资产。(2)卖出1单位标的资产的远期合约。在时间T后，将资产按远期合约规定价格F卖掉，同时归还借款本息SerT，实现无风险利润。若FSerT，投资者可以：(1)卖空1单位资产，将所得S以无风险利率r进行投资，期限为T。(2)购买1单位标的资产的远期合约。在时间T后，以价格F交割单位资产，补回卖空的资产。可实现无风险利润。16讨论1，若F＝55套利者可以8％的无风险年利率借入50元，买一股股票，并在远期市场卖出合约。3个月后套利者卖出股票获55元，归还贷款总额51.01元。锁定收益为55－51.01＝3.99元。例购买一份3个月的股票远期合约，股价为50元，3个月期的无风险利率(连续复利)为8％。S＝50,r＝0.08,T＝0.25.理论远期价格F＝50×e0.08×0.25＝51.01.讨论2，若F＝49套利者卖空股票，将所得收入进行投资，并购买3个月远期合约。收入以无风险利率投资3个月可得51.01元。此时套利者支付49元，交割合约股票，再将股票补回空头头寸，净收益为51.01－49＝2.01元。因此，在无套利的前提下，远期价格一定是51.01元。17三、已知现金收益的投资资产的远期价格1.一般结论其中I为标的资产在远期合约有效期间所支付的收益现值(之和)。TrTrISFeISF)1)(()(或有些投资资产，如附息债券或支付已知红利的股票，在持有期限内可提供完全预测的现金收益。182.一般分析投资组合A：一个远期合约多头+数额为Fe-rT的现金投资组合B：一个单位的证券+现值为I的负债合约到期时，两个组合均为一单位的标的资产。在时间T后，组合A、B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：ISFerTrTeISF)(19BuyoneunitoftheassetandenterintoashortforwardcontracttosellitforF0attimeT.ThiscostsS0andiscertaintoleadtoacashinflowofF0attimeTandincomewithapresentvalueofI.TheinitialoutflowisS0,thepresentvalueoftheinflowsisF0e-rT+I.HenceS0=F0e-rT+IorequivalentlyF0=(S0-I)erTAnotherwayofseeingthisresult,considerthefollowingstrategy:20假定F（S-I）erT(1)以无风险利率r借入S，期限为T，并购买1单位资产；(2)卖出1单位标的资产的远期合约；(3)将期间获取的现金收益以无风险利率投资。3.套利分析若F＜（S-I）erT在时间T后，将资产按价格F卖掉。现金收益的终值为IerT。归还借款本息SerT后，实现现金净流入0。在时间T后，以价格F交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益IerT。这样，在时刻T实现现金净流入(利润)0。(1)卖空1单位资产，将所得收入S以无风险利率r投资，期限为T(2)购买1单位标的资产的远期合约21案例分析面值1000元债券当前价格为900元，息票利率为8％，每半年付息一次。若远期合约期限为1年，债券在5年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。6个月期和1年期连续复利的无风险年利率分别为9％和10％。求理论远期/期货价格。债券利息的现值：I=40e-0.09×0.5+40e-0.1×1=38.24+36.19=74.43远期价格：F=(900.00-74.43)e0.1×1＝912.39元22讨论1：若远期价格为920元借入900元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在6个月之后支付40美元现金收益，其现值为：40e-0.09×0.5=38.24在900元中，38.24元可以以9％的年利率借入6个月，在首次付息日收到40元之后偿还本金和利息，余下的861.76元则须以10％的年利率借入1年。1年后所归还的本利和为：861.76e0.1×1＝952.39债券第二次付息收到40元，以远期合约价格卖出债券可获920元，净盈利为40+920－952.39＝7.67元讨论2：若远期价格为910元（略）23四、已知红利率(KnownYield)投资资产远期价格TTqrqrSFSeF)1()(或qTerTFe已知红利收益率系指表示为资产价格百分比的收益是已知的。如货币、股票指数等可以认为属该类资产。1.一般性结论假设已知收益率为q，则有：•投资组合A：即期购买单位资产•投资组合B：1单位该标的资产的远期合约多头+的现金投资组合A在T时间后正好等于1单位资产。投资组合B中的现金以无风险利率投资，T时间后正好可以用于交割一单位资产。即时间T后，投资组合A和B具有相同的价值。期初价值也应相同：qTrTSeFe242.套利分析如果FSe(r-q)T，套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无风险利润：F-Se(r-q)T。如果FSe(r-q)T，套利者可以买进远期合约，卖空资产，在T时刻获得无风险利润：Se(r-q)T-F。假设一个6个月期某资产的远期合约，该资产预期提供年率6%的连续红利收益率，无风险利率为每年10%(连续复利)，资产当前价格为60元。此时，S＝60，r＝0.1，T＝0.5，q＝0.06，则该合约的远期价格为：F＝60×e(0.1-0.06)*0.5=61.22元25五、考虑储存成本的投资类商品远期价格对于商品期货范畴下的投资类商品，如黄金、白银等，如果不考虑存储成本，可以视为不支付收益的投资类商品，其远期价格为F=SerT若考虑存储成本。存储成本可视为负收益。设U为合约有效期间所有存储成本的现值，则有远期价格：F=(S+U)erT或F=Se(r+u)Tu为存储成本与现货价格的比例26假设有黄金的一年期远期合约。黄金的存储成本为每年每盎司2美元，规定在年底支付。若黄金现货价格为1050美元，连续复利的无风险利率为每年7%。试求理论远期价格。于是：r=0.07，S=1050，T=1。首先计算储存成本的现值：U=2e-0.07=1.865。远期价格为F=(S+U)erT=(1050+1.865)e0.0727对于持有目的主要不是投资的商品，前面的价格分析应做调整。持有消费类商品(库存)不是因为其具有投资价值，而是因为具有消费价值，