远期和期货定价

《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月6第二章远期和期货定价一、远期和期货市场1、远期和期货的由来人类交易方式的演进：易货交易现货交易远期交易期货交易2、远期合约的定义远期合约（ForwardContracts）是一种最为简单的衍生金融工具。它是指双方约定在未来某一个确定的时间，按照某一确定的价格买卖一定数量的某种资产的协议。在合约中，双方约定买卖的资产称为“标的资产”，约定的成交价格称为“协议价格”或“交割价格”（DeliveryPrice）。3、期货合约的定义期货合约（FuturesContracts）是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式等）买入或卖出一定标准数量的某种标的资产的标准化协议。合约中规定的价格就是期货价格（FuturesPrice）。4、交易所和清算所（1）有组织的交易所（TheOrganizedExchange）各个交易所的制度特征。（2）清算所（TheClearinghouse）清算所往往是大型的金融机构；清算所充当所有期货买者的卖者和所有卖者的买者，交易双方就无须担心对方违约；同时，清算所作为每笔期货交易卖者的买者和买者的卖者，同时拥有完全匹配的多头和空头头寸。（3）标准化合约4、现货、远期和期货的区别二、远期定价1、基本的假设和符号基本的假设（1）没有交易费用和税收。（2）市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。（3）远期合约没有违约风险。（4）允许现货卖空行为。（5）当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。符号T：远期合约的到期时间，单位为年。《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月7t：现在的时间，单位为年。T－t代表远期约中以年为单位的期限。S：标的资产在时间t时的价格。ST：标的资产在时间T时的价格。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值。F：t时刻的远期合约中标的资产的远期理论价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率）。2、无套利定价法无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等。否则就存在套利机会，套利者可以卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。3、无收益资产远期合约定价为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合：组合A：一份远期合约[1]多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）×Ker（T－t）=K。这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。[1]该合约规定多头在到期日可按交割价格K购买一单位标的资产。在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相等。即：f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）（2.1）公式（2.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说，一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。4、现货－远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（2.1）式中f=0，则F=Ser（T－t）（2.2）这就是无收益资产的现货－远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货期货平价定理(Spot-FuturesParityTheorem)。公式（2.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。假设FSer（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了F－Ser（T－t）的无风险利润。《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月8假设F＜Ser（T－t），即交割价格小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t）并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）－F的利润。例如我们考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合理交割价格应该为：如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可以卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上的远期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱买入股票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利润。例2.1设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$930，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$910。计算该远期合约多头的价值。解：根据公式（2.1）f=910－930e-0.50.06=$7.49例2.2假设一年期的贴现债券价格为$950，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格为多少？解：根据公式（2.2）F=950e0.050.25=$9625、支付已知现金收益资产远期合约的定价我们令已知现金收益的现值为I，则有f=S－I－Ke-r（T－t）(2.3)其中，I可以为负，如黄金、白银等。公式（2.3）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。根据F的定义，我们可从公式（2.3）中求得：F=(S－I)er（T－t）（2.4）这就是支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式。公式（2.4）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。例2.3假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月9$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值：I=60e-0.090.5+60e-0.101=111.65元根据公式（2.3），则该远期合约多头的价值为：f=990－111.65－1001e-0.11=－$27.39元。例2.4假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7%。问一年期黄金远期价格？F=(450－I)e0.071其中，I=－2e-0.071=－1.865，故：F=(450+1.865)e0.071=484.6美元/盎司6、支付已知收益率资产远期合约定价(1)支付已知收益率q资产的远期定价(2.5)公式（2.5）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e-q(T-t)单位证券的现值与交割价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由e-q（T－t）单位标的资产和Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。根据远期价格的定义，我们可根据公式（2.5）算出支付已知收益率资产的远期价格：(2.6)这就是支付已知收益率资产的现货－远期平价公式。公式（2.6）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。例2.5A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。(2)外汇远期的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。我们用S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，即S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（2.5），我们可以得出外汇远期合约的价值:(2.7)根据公式（2.7），我们可得到外汇远期价格的确定公式：(2.8)其中，F是T时刻远期汇率，S是t时刻即期汇率。国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期汇率应小于现货汇率(贴水）；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期汇率应大于现货汇率（升水）。《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月10（3）远期利率协议的定价远期利率协议（ForwardRateAgreements，FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。远期利率协议的买方是名义借款人，其订立远期利率协议的目的主要是为了规避利率上升的风险。远期利率协议的卖方则是名义贷款人，其订立远期利率协议的目的主要是为了规避利率下降的风险。设:F为在T时刻交割的远期价格F*为在T*时刻交割的远期价格r为T时刻到期的无风险利率r*为T*时刻到期的无风险利率为T到T*时刻的无风险远期利率F=Ser（T－t）(2.9)(2.10)(2.9)和(2.10)两式相除消掉S后,(2.11)另外我们可以得到：(2.12)由(2.11)和(2.12)，得远期利率：(2.13)例2.6假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2年3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的合同利率等于多少?根据公式（2.13），该合约理论上的合同利率为：(4)远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用本币向卖方买入一定名义金额（A）的外币，然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方的协议。在这里，所有的汇率均指用本币表示的一单位外币的汇率。根据该协议，多头的现金流为：T时刻：A单位外币减AK本币T*时刻：AK*本币减A单位外币我们令rf代表在T时刻到期的外币即期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，则：我们将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻的汇率（S）折成本币。《金融工程学》教学提纲四川大学经济学院金融工程系杨整2010年3月11(2.14)根据远期汇率公式(2.8)，有：(2.15)(2.16)将公式（2.15）和（2.16）代入公式（2.14）得：(2.17)有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖w原货币时所用的汇率.我们用W*表示T时刻到T*时刻的远期差价。定义W*=F*－F，表示远期差价。将公式（2.15）和（2.16）代入，我们可以得到：(2.18)我们用W