随机参数二叉树期权定价及其模拟研究

1随机参数二叉树期权定价方法及其模拟研究付德才（厦门大学，厦门361005）摘要：本文将股票波动性随机变化的因素考虑到二叉树期权定价模型中，得到了可以用数值计算方法实现的一个期权定价方法，该公式比传统二叉树模型更能反映股票波动的异方差性。以五粮液认购权证与五粮液认沽权证为样本，运用马尔科夫链蒙特卡罗方法对其进行了模拟分析，并与B-S模型进行了比较。关键词：期权定价；二叉树模型；权证模型作者简介：付德才，厦门大学管理学院博士生，研究方向：资产定价。中图分类号：F8309文献标识码：ARandomBinominalOptionPricingModelandSimulationFuDecai(XiamenUniversity,Xiamen,361005)Abstract:.Inthispaper,wemakearevisionfortheCRR-RBoptionpricingmodelbasedonthefactthatstockvolatilityisvariable,andwegetanewoptionpricingformulawhichcanbecalculatedbycomputationmethod.Thenewformulareflectsthefluctuationofstockvolatility.WefinallyverifyourmodelusingthedataoftheFive-GrainLiquorcallwarrantandputwarrantinChinesesecuritiesmarket.Weofferin-depthanalysisontheimplementationoftheformula,adoptingHastings-MetropolisalgorithmandMonte-Carlonumericalintegrationofimportancesamplingforcomputingtheformula.Keywords：OptionPricing，Binominaltreemodel定价问题是期权的核心。期权定价模型可以分为连续时间模型和离散时间模型两类。由于股票收益率的波动性在衍生品定价、特别是期权定价中的极端重要性，学术界和实务界对于波动性都有很多重要的研究。其中一个方向是考虑标的资产波动性不是常数，而是一个随机变量。这个方向在近年来得到了深入研究的一个重要原因是大量实证研究表明，股票价格的波动性是随着时间而变化的。连续时间下的Black-Scholes期权定价模型（1973）在一方面进行了很多扩展或深化，包括GARCH类和EGARCH类定价方法，这类连续型的期权定价一般是没有封闭解的。目前，对于离散型期权定价在这一方面的讨论还比较少。在本文中，我们从经典的离散模型CRR-RB二叉树期权定价公式出发，将波动性变化反映到二叉树期权定价公式中，对其进行了一定的改进。模型的建立在固定参数下，n期的CRR-RB二叉树期权定价公式一般表述为：nkknkknknESduppknknrC0,0max1!!!1(1)其中，C是期权价格；E是期权执行价格；S是股票当前价格；n是期权到期的阶段数；d为股票价格下降的比例+1；u为股票价格上升的比例+1；r为无2风险利率+1；dudrp。在模型中假设dru，因此10p。注意到在（1）中关于二项分布的参数u和d是事先就知道的固定参数。因为u和d分别代表了股票上涨和下降的幅度，如果u和d在整个n个时期中都不变，就是说股票的波动性是保持不变的。也就是说，在二叉树期权定价公式中股票波动性是固定不变的。为了将股票收益率的波动性是变化的这一情况反映在公式中，下面将u和d考虑为随机变量。在（1）式中，二叉树期权定价公式可以看作是在给定确定的u和d情况下的期权价格，即dunESC,,,。也就是说，如果将u和d视作随机变量，且其联合分布的密度函数为yxf,，那么期权价格为：dxdyyxfyxnESCnESC,,,,,,由于rd和ur位于0到1之间，而且是非对称的连续变量，符合Beta分布的特征，而且beta分布具有很好的数学性质，因此，为了进行进一步的分析，假设：（1）r是固定的，而u和d是随机变量。（2）rd和ur是独立随机变量21,.;~Betardx，10x21,.;~Betaury，10yBeta分布中的参数空间：0,0;,2121x0,0;,2121y（3）二叉树模型中的其他假设保持不变。模型求解由于dru，因此rd和ur都是介于0和1之间的随机变量。注意到：xyxyxyxrdrurddudrp11111以及：11pxyyxyxy1111因此，CRR二叉树期权定价公式（1）可以重新写为：3nkkknnkknkCyxxyxyyknknSC0*,0max111!!!（2）其中rdx，ury，SrECn*这样（4）式的期权定价就是x和y的函数。根据模型对于yx,的假设，yx,服从相互独立的Beta分布，因此yx,的联合密度函数是：11112121212111,,1,yyxxBByxf（3）其中B是beta函数。根据（2）式，期权价格为：dxdyyxfyxnESCnESCC,,,,,,经过计算，新的期权定价公式可以写为：nkkBCkAknknBBSC0*2121!!!,,（4）（4）式就是我们得到的在随机参数下的一般化期权二叉树定价公式。尽管kA和kB的形式非常复杂，但由于这两个数列都是绝对收敛的，因此在实际的计算中可以采取近似估计。要得到期权的理论价格，需要使用数值方法。模拟分析以上得到的改进模型，其解析解无法直接计算，需要通过数值计算方法才能得到具体的期权定价。我们采用数学中的Hastings-Metropolis算法和重要取样的Monte-Carlo数值积分方法。下面对传统的B-S模型和本文的修正的二叉树模型进行模拟分析与比较。由于我国市场中只有权证没有期权，因此我们采用权证的数据，样本采用我国证券市场的五粮液认购权证、五粮液认沽权证。通过数据分析，我们一方面试图比较一下各个模型的计算结果和市场真实价格的关系，同时也通过多个模型的计算，来看一下我国权证产品在价格表现上的一些特征和问题。一、样本分析本章研究是以2006年4月3日至2007年4月2日的五粮液认购权证、五粮液认沽权证、五粮液为研究对象，研究分析它们的价格行为，共243个样本。其中，所有数据均来自于深圳证券交易所和wind咨询。4由图1五粮液股价对数收益率描述统计可以看出，偏度大于0，峰度大于3，不是正态分布，与B-S期权定价公式以及二叉树定价公式的假设并不完全相符合。图1五粮液股价对数收益率描述统计二、B-S模型和随机参数模型的模拟分析B-S模型有通用的计算软件可以实现，只需要确定好其中的参数的计算方法。首先计算历史波动率。历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。数收益率，R为收益率均其中，为股票的收盘价格，tR为股票价格对值，VarR（或者2）则为收益率（估计）方差，就是相应的标准差（波动率）。上述计算的波动率是日波动率，需要转换为年波动率。转换时，我们按照一年250个交易日进行计算。在实际计算时，历史时间的选择往往很不容易。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价格收益率的波动率却又常常随时间而变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，本文计算波动率时，使用3个月的历史数据。关于无风险利率的选取。一般来说，无风险收益率采用1个月或者3个月的国债收益率或者同业拆借利率较为合适，但由于中国现在的债券市场、同业拆借市场还不够健全，有关数据并不能真实反映市场资金利率的实际状况，因此，采用一年期整存整取存款利率作为无风险收益率比较合适。2006年4月3日至2007年4月2日期间，一年期整存整取存款利率为2.52％。对随机参数服从独立Beta分布的随机参数二叉树模型，采用采用数学中的Hastings-Metropolis算法和重要取样的Monte-Carlo数值积分方法，进行了模拟)ln(1tttPPRTttRRTRVar122)(11)(tP5计算。利用以上方法，最终的模拟结果见图2、图3、图4、图5。其中偏离度的计算公式为：五粮液认购权证模拟价格与实际价格比较04-05-0605-05-0606-05-0607-05-0608-05-0609-05-0610-05-0611-05-0612-05-0601-05-0702-05-0703-05-0704-05-07实际价格B-S理论价格随机二叉树价格图2五粮液认购权证理论与实际价格比较五粮液认购权证模拟价格与实际价格偏离度比较-40.00%-30.00%-20.00%-10.00%0.00%10.00%20.00%30.00%04-05-0605-05-0606-05-0607-05-0608-05-0609-05-0610-05-0611-05-0612-05-0601-05-0702-05-0703-05-0704-05-07B-S理论价格随机二叉树价格图图3五粮液认购权证模拟价格与实际价格偏离度比较%100实际价格实际价格模拟价格偏离度6五粮液认沽权证模拟价格与实际价格比较04-05-0605-05-0606-05-0607-05-0608-05-0609-05-0610-05-0611-05-0612-05-0601-05-0702-05-0703-05-0704-05-07实际价格B-S理论价格随机二叉树价格图4五粮液认沽权证理论与实际价格比较五粮液认沽权证模拟价格与实际价格偏离度比较-150.00%-100.00%-50.00%0.00%50.00%100.00%04-05-0605-05-0606-05-0607-05-0608-05-0609-05-0610-05-0611-05-0612-05-0601-05-0702-05-0703-05-07B-S理论价格随机二叉树价格图5五粮液认购权证模拟价格与实际价格偏离度比较通过比较以上模拟结果，可以发现，第一，尽管B-S模型在数学形式上要比本文推导的随机参数二叉树模型简单，但实际定价效果看，两者相差不大。这表明B-S模型尽管看似假设多、形式简单，但实际上与随机形式下的定价结果很接近。B-S模型形式简洁、计算简单、结果比较准确，应用面广，这也是三十多年来没有任何一个期权定价模型完全超越B-S模型的原因所在。第二，对于五粮液认购权证和认沽权证，B-S模型和本文推导的随机参数二叉树模型都相差很大，两个理论模型的结果与实际价格的模拟效果都很差。在五粮液认购权证初期，随机参数二叉树模型的效果比较好，B-S模型效果很差。大多数时点，B-S模型与随机参数二叉树模型模拟五粮液认沽权证的效果很差。第三，对于五粮液认沽权证，B-S模型与随机参数二叉树模型模拟效果都比较差，这并不能说明模型本身存在问题，从市场状况看，主要是我国证券市场中认沽权证的非理性炒作造成权证价格极度偏离其内在价值。结论与建议本文从经典的CRR-RB的二叉树期权定价公式出发，基于股票波动性是变化的这一事实，对CRR-RB的二叉树期权定价公式进行了一定的改进，将波动7性变化反映到二叉树期权定价公式，得到了可以用数值计算方法实现的一个期权定价方法，该公式比传统二叉树模型更能反映股票波动的异方差性。但由于这个公式比较复杂，只能通过数值计算方法来实现，我们采用五粮液认购权证与五粮液认沽权证，运用马尔科夫链蒙特卡罗方法(MarkovchainMonteCarlo)对其进