矩阵位移法精品课件

1出版社科技分社土木工程指导性专业规范配套系列教材—结构力学第9章矩阵位移法本章导读●基本要求掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理和方法。包括杆件结构的离散化；单元和结构坐标系下单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成结构的综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；计算结构杆端内力。掌握矩阵位移法的计算步骤。●重点用先处理法形成结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。●难点用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。2出版社科技分社9.1概述计算机辅助设计（CAD）中使用到的诸多结构分析软件都以有限单元法（简称有限元法）为理论依据，有限元法是一种近几十年发展起来的新方法，从数学角度来说，它是求解偏微分方程定解问题的数值分析方法之一；从力学角度来说，它是求取基于变分原理的近似解的方法之一；而从我们最熟识的工程结构的角度来说，它是结构力学的矩阵分析方法在连续介质力学中的合理应用。土木工程指导性专业规范配套系列教材—结构力学出版社科技分社3出版社科技分社结构力学的矩阵分析方法是将矩阵数学的理论引入结构力学而得，即在进行结构矩阵分析时，仍旧沿用传统结构力学的基本假定、基本原理和基本方法，而在公式和各种表达式的表述方法上使用矩阵形式。矩阵化的表述方式具有简洁、规范、易于排错的优点，因而容易转化成计算机程序，方便计算机软件的开发。将力法和位移法同矩阵数学相结合，产生出矩阵力法和矩阵位移法。相对于力法而言，位移法具有基本结构唯一和可以求解静定结构两大优势，这些特点使得矩阵位移法更适用于进行结构分析软件的开发。因此，本章将重点介绍平面杆件结构的矩阵位移法。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社4出版社科技分社矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行结构分析的基本要点是：1）结构离散化将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这一步骤.土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社5出版社科技分社2）单元分析单元分析的任务是获取单元杆端力与单元杆端位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。这相当于位移法中获得形常数和转角位移方程的步骤。单元杆端位移一旦求得，单元杆端力即可通过单元刚度方程求得。3）整体分析整体分析是将单元刚度矩阵按照刚度集成规则直接形成结构刚度矩阵，并建立整体结构的刚度方程。这相当于位移法中建立典型方程的步骤。整体分析将打散的单元重新集成为结构，进而引入结构的边界条件（力平衡边界条件和变形协调边界条件）为求解结构刚度方程做好准备。求解结构刚度方程得到各结点位移后，只需再返回单元分析，即可求出各单元杆端力，进而绘出结构内力图。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社6出版社科技分社9.2杆件结构的离散化9.2.1单元与结点的划分和编码由若干根杆件组成的结构称为杆件结构。使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。只要确定了杆件结构中的全部结点，结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社7出版社科技分社确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社2EIEI11EI654321765432198754387432211I2E56(a)(b)8出版社科技分社9.2.2两种直角坐标系结构离散化后，杆件单元的方向千差万别。在作整体分析时，需要在结点处建立平衡方程，为此又需要一个统一的计算基准坐标系。因此，这里引入两套直角坐标系来建立后续需要研究的力和位移等物理量之间的关系。（1）单元坐标系单元坐标系（又称局部坐标系）是单元分析时使用的坐标系，它只与具体某一单元相对应。对结构中任意单元e，本章约定其坐标系用表示；坐标系原点取为该单元一端的端结点i（称为始结点或始端）；由原点指向另一端结点j（称为末结点或末端）的方向，为杆轴坐标正向，记作；土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社xyx()ex9出版社科技分社以轴沿顺时针方向旋转90°为坐标轴正向，记作，如下图所示。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社y()ey3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2（2）整体坐标系整体坐标系（又称结构坐标系）是整体分析时使用的坐标系，它不和任何单元直接相关。设置整10出版社科技分社体坐标系的目的是使各物理量在进行整体分析时有统一的衡量尺度。本章约定整体坐标系使用x-y表示，x轴正方向水平向右，以x轴沿顺时针方向旋转90°为y轴正向，即y轴正方向竖直向下，整体坐标系原点可取为任意点。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O211出版社科技分社为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明轴的正向即可，如图（b）所示。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社3x(a)(b)12yx123yx(1)(1)x(2)(2)yOy211O2x12出版社科技分社9.2.3力和位移的正负号规定1）外荷载和支反力(1)结点荷载和支反力结点荷载是指作用于结点上的荷载。本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负。(2)非结点荷载非结点荷载是指作用于杆件上的荷载。本章约定非结点集中力和分布力以单元坐标系正向相同时为正，反之为负。非结点集中力偶，仍以顺时针转向为正，反之为负。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社13出版社科技分社2）结点位移由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形，因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正，转角以顺时针转向为正，反之为负。3）单元杆端力和杆端位移单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端力和杆端位移。下图所示为平面刚架中的单元e，其始端为i，末端为j。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社jvjiejNF(uj))(jFQMjj())(iuiFNQFivi())(iiMxiejyjix)(jjM)ju(FxjyjFv(j))(ivFyixiFui()Mii()Oye(f1)1f5)5(f3)3(f6)6(f22()yx(f4)4xOyij(1f)1)(2f2)(33f44(f)55)(ff66)((a)单元坐标系下的广义分量(c)整体坐标系下的广义分量e(b)单元坐标系下的分量(d)整体坐标系下的分量15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和d表示，当参照系为单元坐标系时，还需在f和d上添加上划线，即用“”和“”以示区别。为区别两端结点各方向的分量，约定始端i沿x或坐标方向为1号方向，沿y或方向为2号方向，转角方向为3号方向；依此类推，末端j的三个方向分别用4、5、6表示。上图中（a）和（c）标明了两套坐标系中所有24个广义分量（括号中的是广义位移分量）。约定各分量与相应坐标系正向一致时为正，力矩或转角分量以顺时针转动为正，反之为负。单元杆端力和杆端位移分量，也可以按它们实际的物理意义表示为上图（b）和（d）的形式。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社fd16出版社科技分社即用轴力、剪力、弯矩和水平位移分量u、竖直位移分量v、转角位移分量q等我们熟知的表示方法来绘制。采取传统方法表示时，各分量用下标注明其作用的结点；同时，若参照系为单元坐标系，各分量还需添加上划线以示区别。公式（9.1）和（9.2）给出了参照系为单元坐标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元杆端力和杆端位移列阵。单元坐标系中的单元杆端力列阵为土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社17出版社科技分社单元坐标系中的单元杆端位移列阵为土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社()()N1Q23N4Q56eeiieiieejjjjFfFfMfFfFfMfFFF（9.1）()()123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqdδδδ（9.2）18出版社科技分社公式（9.3）和（9.4）给出了参照系为整体坐标系时，分别使用广义方式和传统方式表示的单元杆端力和杆端位移列阵。整体坐标系中的单元杆端力列阵为土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社()()123456eexiyieiieexjjyjjFfFfMfFfFfMfFFF（9.3）19出版社科技分社整体坐标系中的单元杆端位移列阵为土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社()()123456eeiieiieejjjjuvuvddqdddqdδδδ（9.4）以上4式中的列阵子块、、、和、、、分别代表相应坐标系中杆端i和j的力与位移。矩阵位移法的正负号规定与位移法和材料力学中的规定不尽相同，请读者注意区分。eiFejFeiFejFeiδejδeiδejδ20出版社科技分社9.3单元坐标系中的单元刚度矩阵9.3.1一般单元一般单元是指其始末两端每端有三个、两端共6个独立位移未知量的平面刚架单元，如下图所示。土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社uiujyjFQjFiviiNiiQFi1AEMi,,Ijl,vjNj1jMFjx21出版社科技分社表示单元杆端力和杆端位移之间转换关系的方程，称为单元刚度方程。矩阵位移法不再忽略轴向变形，但仍忽略在线弹性小变形的前提下，轴向受力状态和弯曲受力状态间的相互影响。因此，可以分别推导这两种受力状态下杆端力和杆端位移之间的转换关系。1）轴向受力状态下，轴向杆端力同轴向杆端位移之间的关系如图（a），如果杆端i发生轴向位移而杆端j不动时，根据材料力学和平衡条件，有土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社0xFNiiEAFulNjiEAFul（a）iu22出版社科技分社同理如图（b），当杆端j发生轴向位移而杆端i不动时，有如果同时在杆端i和j分别发生了轴向位移和，只需将（a）、（b）两式中对应的轴向杆端力叠加起来即可.土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社FNFNijuilEAi1ijxlEAujiiNF1jNFjjx(a)(b)NijEAFulNjjEAFul（b）jujuiu23出版社科技分社2）弯曲受力状态下，杆端剪力及杆端弯矩同垂直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系两端固定的单跨超静定梁AB，在无外荷载的作用时，其位移法的转角位移方程为土木工程专业系列教材—结构力学出版社科技分社NNiijjijEAEAFuullEAEAFuull（c）24出版社科技分社如果把该梁视矩阵